Через вершины В и С параллелограмма ABCD проведены параллельные прямые. Первый из них отсекает сторону AD в точке E, а второй — продолжение AD в точке T. Прямые CC1 и TT1 перпендикулярны прямой BE. Площадь треугольника CT Т1 равна 10 см². Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Ответы
Ответ: 20 (см в квадрате)
Объяснение: Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, которая опущена на эту сторону. В общем случае, смежные стороны параллелограмма разные, поэтому в общем случае параллелограмм имеет две разные высоты и площадь параллелограмма может вычисляться двумя способами, в зависимости от того какие стороны и высоты к ним известны. Рассмотрим два параллелограмма АВСД (заданный по условию) и ВСТЕ, образованный параллельными прямыми, проведенными из вершин В и С. Обратим внимание, что у этих параллелограммов две общие вершины ВС, что дает возможность сделать вывод о том, что они имеют одну пару одинаковых параллельных сторон. Ясно что и высоты к этим равным сторонам будут равны, а значит равны площади этих двух АВСД и ВСТЕ параллелограммов. Поэтому вместо площади парал. АВСД мы имеем право искать площадь парал. ВСТЕ. По условию прямая СС1 перпендикулярна ВЕ, поэтому их произведение СС1 (в данном случае высоты параллелограмма ВСТЕ ) на сторону ВЕ можно считать площадью параллелограмма ВСТЕ, заметим, что произведение СС1 на ВЕ равно произведение СС1 на СТ (так как СТ и ВЕ параллельны как стороны параллелограмма ВСТЕ). На наше рисунке видна еще одна фигура - прямоугольник С1СТТ1, так как по условию СС1 и ТТ1 перпендикулярны ВЕ. Этот прямоугольник примечателен тем, что, во-первых, его площадь равна произведению его сторон (так как он - прямоугольник, и равна произведению СС1 на СТ=ВЕ), и во-вторых тем, что его диагональ СТ1 делит его на две равные части, каждая из которых является треугольником, одним из них есть СТТ1, площадь которого задана в условии задачи и равна 10 (см в квадрате). Таким образом искомая площадь параллелограмма АВСД = равна площади параллелограмма ВСТЕ= равна площади параллелограмма С1СТТ1= двум площадям треугольника СТТ1 = 20 (см в квадрате).