Четырехугольник AB1 C1 D1 - ортогональная проекция ромба ABCD на плоскость, параллельную меньшей диагонали. Найдите длины проекций диагоналей, если АВ = 20 см, ВВ1 = 10 см, угол B = 120°.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Поскольку четырехугольник $AB_1C_1D_1$ - это проекция ромба $ABCD$ на плоскость, параллельную меньшей диагонали, то его углы соответствуют углам ромба $ABCD$. Так как угол $B$ в ромбе равен $120^\circ$, то угол $B_1$ в четырехугольнике $AB_1C_1D_1$ также равен $120^\circ$.
Для решения задачи нам нужно найти длины проекций диагоналей $AC$ и $BD$ на плоскость $AB_1C_1D_1$. Обозначим эти длины как $x$ и $y$ соответственно.
Поскольку $ABCD$ - ромб, то его диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Значит, $AC=BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{20^2+10^2}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}$.
Диагональ $AC$ проецируется на прямую $A_1C_1$, образуя прямоугольный треугольник $A_1AC_1$. Угол $A_1$ прямой, так как $AC$ параллельно плоскости проекции. Значит, $x = AC \cos \angle A_1AC_1 = AC \cos \angle B = 10\sqrt{5} \cos 120^\circ = -5\sqrt{5}$.
Диагональ $BD$ проецируется на прямую $B_1D_1$, образуя прямоугольный треугольник $B_1BD_1$. Угол $B_1$ также равен $120^\circ$. Значит, $y = BD \cos \angle B_1BD_1 = BD \cos (180^\circ - B) = 10\sqrt{5} \cos 60^\circ = 5\sqrt{15}$.
Итак, длины проекций диагоналей $AC$ и $BD$ на плоскость $AB_1C_1D_1$ равны $x = -5\sqrt{5}$ и $y = 5\sqrt{15}$ соответственно.