3. (x² − 3x + 2) (x³ − 3x²)(4 – x²) ≤ 0. Помогите решить
Ответы
Ответ:
(-∞, -2] ∪ (0, 1) ∪ [2, 3]
Объяснение:
Для решения данного неравенства сначала найдем все корни соответствующего уравнения. Для этого сначала раскроем скобки и упростим выражение:
(x² − 3x + 2) (x³ − 3x²)(4 – x²) ≤ 0
(x - 1)(x - 2)(x²)(x-3)(2)(2-x)(2+x)(2-x) ≤ 0
(x-1)(x-2)x^2(x-3)(x-2)(x+2)(2-x)^2 ≤ 0
Здесь мы использовали формулы разности кубов и суммы кубов, чтобы упростить выражение второй скобки.
Теперь вычислим корни уравнения, равенства которому соответствуют неравенству:
x - 1 = 0 => x = 1
x - 2 = 0 => x = 2
x^2 = 0 => x = 0
x - 3 = 0 => x = 3
x + 2 = 0 => x = -2
2 - x = 0 => x = 2
Таким образом, мы нашли шесть корней: -2, 0, 1, 2, 2 и 3.
Для того чтобы определить знак выражения (x² − 3x + 2) (x³ − 3x²)(4 – x²), нужно исследовать знак каждого из множителей в интервалах между найденными корнями.
Интервалы между корнями можно представить на числовой оси:
-∞ ────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────► +∞
-2 0 1 2 2 3
Проверим знак каждого множителя внутри каждого интервала. Например, в интервале от -∞ до -2:
(x - 1) < 0, так как x < 1
(x - 2) < 0, так как x < 2
x^2 > 0, так как квадрат числа всегда положителен
(x - 3) < 0, так как x < 3
(x - 2) < 0, так как x < 2
(x + 2) < 0, так как x < -2
(2 - x)^2 > 0, так как квадрат числа всегда положителен
Теперь умножим эти знаки и получим знак выражения в интервале между -∞ и -2:
(-) * (-) * (+) * (-) * (-) * (-) * (+) = (+)
Для интервала от -∞ до -2 знак выражения равен (+), для интервала от -2 до 0 - (-), для интервала от 0 до 1 - (+), для интервала от 1 до 2 - (-), для интервала от 2 до 2 - (+) и для интервала от 2 до 3 - (-).
Таким образом, мы получили последовательность знаков: + - + - + -. Значит, неравенство выполняется на интервалах (-∞, -2], (0, 1) и [2, 3]. В этих интервалах выражение меньше или равно нулю.
Следовательно, решением исходного неравенства является объединение этих интервалов:
(-∞, -2] ∪ (0, 1) ∪ [2, 3].
Таким образом, все значения x, принадлежащие этим интервалам, удовлетворяют исходному неравенству.