В треугольнике MPK биссектриса PB перпендикулярна медиане KA, MP = 4. Периметр треугольника
MPK равен 9. Найдите MK
Ответы
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами биссектрисы и медианы в треугольнике:
Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Медиана делит сторону пополам и проходит через вершину, противоположную этой стороне.
Мы знаем, что PB перпендикулярна медиане KA, поэтому KA делит треугольник на два подобных треугольника MKB и PKA.
Так как PB является биссектрисой треугольника MPK, то можно записать:
MB / BP = MK / PK
А так как KA является медианой треугольника MPK, то:
PK = 2MA
Подставляя выражение для PK, получим:
MB / BP = MK / 2MA
Также мы знаем, что периметр треугольника MPK равен 9:
MP + PK + MK = 9
Заменим PK на 2MA:
MP + 2MA + MK = 9
Так как MP = 4, то:
4 + 2MA + MK = 9
2MA + MK = 5
Теперь мы можем решить систему уравнений:
{
MB / BP = MK / 2MA
2MA + MK = 5
}
Разрешим первое уравнение относительно MB:
MB = BP × MK / 2MA
Подставим это выражение во второе уравнение:
2MA + MK = 5
2MA + BP × MK / 2MA = 5
Умножим обе части уравнения на 2MA:
4MA^2 + BP × MK = 10MA
MK = (10MA - 4MA^2) / BP
Теперь осталось найти MA и BP. Для этого нам понадобится еще одно свойство медианы в треугольнике: медиана делит сторону на два отрезка, пропорциональных двум другим сторонам.
Так как треугольник MPK является прямоугольным (противоположный угол MKP равен 90 градусов), то мы можем использовать теорему Пифагора:
MP^2 + PK^2 = MK^2
Подставим PK = 2MA и MP = 4:
16 + 4MA^2 = MK^2
MK^2 = 4MA^2 + 16
Также мы знаем, что периметр треугольника равен 9, то есть:
MP + PK + MK = 9
4 + 2MA + MK = 9
MK = 5 - 2MA
П