Предмет: Математика, автор: nikavera709

Диф. уравнения 1го порядка

Приложения:

Ответы

Автор ответа: mathkot
0

Ответ:

Решения дифференциальных уравнений:

5.

 \boldsymbol{\boxed{C = \ln |x| + e^{\bigg(-\dfrac{y}{x}  \bigg)}}}

6.

\boldsymbol{\boxed{\text{arctg}   \dfrac{y}{x}  - \dfrac{1}{2} \ln \bigg | \bigg(\dfrac{y}{x}\bigg)^{2} + 1 \bigg | - \ln|x| = C}}

Пошаговое объяснение:

5.

xy' = xe^{\bigg(\dfrac{y}{x} \bigg) } + y; x \neq 0

x\ \dfrac{dy}{dx}  = xe^{\bigg(\dfrac{y}{x} \bigg) } + y

---------------------------------------------------------------------------

Замена: y = tx \Longrightarrow t = \dfrac{y}{x} ; t = t(x)

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx} \bigg(tx \bigg)=  x \ \dfrac{dt}{dx} + t  \dfrac{d}{dx} \bigg(x \bigg) = x \ \dfrac{dt}{dx} + t

---------------------------------------------------------------------------

x\bigg(x \ \dfrac{dt}{dx} + t \bigg)  = xe^{\bigg(\dfrac{tx}{x} \bigg) } + tx |:x

x \ \dfrac{dt}{dx} + t = e^{t} + t

x \ \dfrac{dt}{dx} = e^{t}

\dfrac{dt}{e^{t}} = \dfrac{dx}{x}

e^{-t}\, dt  = \dfrac{dx}{x}

\displaystyle \int e^{-t}\, dt  = \int \dfrac{dx}{x}

\displaystyle -\int e^{-t}\, d(-t)  = \int \dfrac{dx}{x}

-e^{-t} + C = \ln |x|

C = \ln |x| + e^{-t}

\boxed{C = \ln |x| + e^{\bigg(-\dfrac{y}{x}  \bigg)}} - общий интеграл дифференциального уравнения

6.

y' = \dfrac{x+y}{x-y}

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x+y}{x-y}

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Замена: y = tx \Longrightarrow t = \dfrac{y}{x} ; t = t(x)

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d}{dx} \bigg(tx \bigg)=  x \ \dfrac{dt}{dx} + t  \dfrac{d}{dx} \bigg(x \bigg) = x \ \dfrac{dt}{dx} + t

x = 0 - не является решением дифференциального уравнения

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

x \ \dfrac{dt}{dx} + t = \dfrac{tx + x}{-tx+x}

x \ \dfrac{dt}{dx} + t = \dfrac{x(t +1)}{x(-t+1)}

x \ \dfrac{dt}{dx}  = \dfrac{t +1}{1- t} -t

x \ \dfrac{dt}{dx}  = \dfrac{t +1}{1- t} -  \dfrac{t(1- t)}{1- t}

x \ \dfrac{dt}{dx}  = \dfrac{t +1 - t(1-t)}{1- t}

x \ \dfrac{dt}{dx}  = \dfrac{t +1 - t+t^{2}}{1- t}

x \ \dfrac{dt}{dx}  = \dfrac{t^{2}+1}{1- t}

\dfrac{1-t}{t^{2}+1} \, dt   = \dfrac{dx}{x}

\displaystyle \int \dfrac{1-t}{t^{2}+1} \, dt   = \int  \dfrac{dx}{x}

а)

\displaystyle \int \dfrac{1-t}{t^{2}+1} \, dt  = \int \bigg( \dfrac{1}{t^{2}+1} - \dfrac{t}{t^{2}+1} \bigg ) \, dt =  \int \dfrac{1}{t^{2}+1} \, dt -  \int \dfrac{t}{t^{2}+1} \, dt =

\displaystyle  =  \int \dfrac{dt}{t^{2}+1}  -  \frac{1}{2}  \int \dfrac{d(t^{2} + 1)}{(t^{2}+1)}  = \text{arctg} \ t + C_{1} - \frac{1}{2} \ln |t^{2} + 1| + C_{2} =

= \text{arctg} \ t  - \dfrac{1}{2} \ln |t^{2} + 1| + C_{3}

б)

\displaystyle \int  \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C_{4}

\displaystyle \int \dfrac{1-t}{t^{2}+1} \, dt   = \int  \dfrac{dx}{x}

\text{arctg} \ t  - \dfrac{1}{2} \ln |t^{2} + 1| + C_{3} =  \ln|x| + C_{4}

\text{arctg} \ t  - \dfrac{1}{2} \ln |t^{2} + 1| - \ln|x| = C_{4} - C_{3}

\boxed{\text{arctg}   \dfrac{y}{x}  - \dfrac{1}{2} \ln \bigg | \bigg(\dfrac{y}{x}\bigg)^{2} + 1 \bigg | - \ln|x| = C} - общий интеграл дифференциального уравнения

Похожие вопросы
Предмет: Геометрия, автор: snakedefender1
Предмет: Английский язык, автор: Аноним