Question

Диф. уравнения 1го порядка

Answer 1

Ответ:

Общие интегралы дифференциальных уравнений:

3.

$\boxed{C = e^{-y} - e^{-x}}$

4.

$\boxed{C =\text{ctg} \ x + \arcsin y;y =1;y=-1}$

Пошаговое объяснение:

3.

$y' = e^{-x+y}$

$\dfrac{dy}{dx} = e^{-x}e^{y}$

$\dfrac{dy}{e^{y}} = e^{-x} \, dx$

$e^{-y} \, dy= e^{-x} \, dx$

$\displaystyle \int e^{-y} \, dy= \int e^{-x} \, dx$

$\displaystyle - \int e^{-y} \, d(-y)= -\int e^{-x} \, d(-x) \ \Bigg | \cdot (-1)$

$\displaystyle \int e^{-y} \, d(-y)= \int e^{-x} \, d(-x)$

$e^{-y} = e^{-x} + C$

$\boxed{C = e^{-y} - e^{-x}}$ - общий интеграл дифференциального уравнения

4.

$y' \sin^{2} x = \sqrt{1- y^{2}}$

$\sin^{2} x \ \dfrac{dy}{dx} = \sqrt{1- y^{2}}$

$\dfrac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}} } = \dfrac{dx}{\sin^{2} x}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------

$\sqrt{1 - y^{2}} = 0 \Longrightarrow y^2 - 1 = 0 \Longrightarrow y_{1,2} = \pm 1$

$y = 1$ - решение дифференциального уравнения

$y = -1$ - решение дифференциального уравнения

--------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle \int \dfrac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}} } = \int \dfrac{dx}{\sin^{2} x}$

$\arcsin y = -\text{ctg} \ x + C$

$\boxed{C =\text{ctg} \ x + \arcsin y;y =1;y=-1}$ - общий интеграл дифференциального уравнения