Question

Помогите решить Задано координати точок A B C A(-5; 6; 7) B(3; 8; -1) C(4; 5; -5)
Потрібно:
1) записати канонічні рівняння прямої AB; 2) записати рівняння площини Q , що проходить через точку C перпендикулярно до прямої AB, та знайти точку M – точку перетину цієї площини з прямоюAB; 3) знайти точку N , що симетрична для точки C відносно прямої AB ; 4) знайти відстань від точки C до прямоїAB.

Answer 1

Для знаходження канонічних рівнянь прямої AB скористаємось формулою:

(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁) = (z - z₁)/(z₂ - z₁)

Замінюємо координати точок A і B:

(x + 5)/(3 + 5) = (y - 6)/(8 - 6) = (z - 7)/(-1 - 7)

Спрощуємо:

(x + 5)/8 = (y - 6)/2 = (z - 7)/(-8)

Тоді канонічні рівняння прямої AB:

x + 5 = 8t

y - 6 = 2t

z - 7 = -8t

Рівняння площини Q, що проходить через точку C перпендикулярно до прямої AB, можна записати у вигляді:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

де (A, B, C) - нормаль до площини, (x₀, y₀, z₀) - координати точки C.

Знайдемо нормаль до площини:

AB = (8t - 5, 2t + 6, -8t + 7)

AC = (4 - (-5), 5 - 6, -5 - 7) = (9, -1, -12)

n = AB x AC = (74, 116, 58)

Тоді рівняння площини Q:

74(x - 4) + 116(y - 5) + 58(z + 5) = 0

Щоб знайти точку M - точку перетину цієї площини з прямою AB, підставимо канонічні рівняння прямої AB у рівняння площини Q:

74(8t - 4) + 116(2t) + 58(-8t - 2) = 0

Розв'язавши це рівняння, отримаємо значення параметру t:

t = -9/118

Підставимо t у канонічні рівняння прямої AB, щоб знайти координати точки M:

x = 8t + 5 = -67/59

y = 2t + 6 = 3/59

z = -8t + 7 = 965/59

Отже, точка M має координати (-67/59, 3/59, 965/59).

Щоб знайти точку N, симетричну до точки C відносно прямої AB, можна скористатись форму