Question

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння. (Заміна: y=zx, y’=dy/dx , dy=zdx+xdz).

Answer 1

Ответ:

Общий интеграл дифференциального уравнения:

$\boldsymbol{\boxed{C = \dfrac{1}{x} +2\sqrt{\bigg(\dfrac{y}{x} \bigg)^{2} + 1}}}$

Пошаговое объяснение:

$2xyy' = 2y^{2} + \sqrt{x^{2} + y^{2} }$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Замена: $y = tx; t \Longleftrightarrow t(x); y = tx \Longrightarrow t = \dfrac{y}{x} ;$

$x = 0$ - не является решением дифференциального уравнения

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \bigg (tx \bigg) = x \ \frac{dt}{dx} + t \ \frac{d}{dx} \bigg (x \bigg) = x \ \frac{dt}{dx} + t$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

$2tx^{2} \bigg(x \ \dfrac{dt}{dx} + t \bigg) = 2t^{2}x^{2} + \sqrt{x^{2} +t^{2}x^{2} }$

$2tx^{2} \bigg(x \ \dfrac{dt}{dx} + t \bigg) = 2t^{2}x^{2} + \sqrt{x^{2}(1 +t^{2}) }$

$2tx^{2} \bigg(x \ \dfrac{dt}{dx} + t \bigg) = 2t^{2}x^{2} + x\sqrt{(1 +t^{2}) } \bigg |:2tx^{2}$

$x \ \dfrac{dt}{dx} + t = t + \dfrac{1}{2xt} \sqrt{(1 +t^{2}) }$

$x \ \dfrac{dt}{dx}= \dfrac{1}{2xt} \sqrt{(1 +t^{2}) }$

$\dfrac{2t}{\sqrt{t^{2} + 1} } \, dt = \dfrac{dx}{x^{2} }$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\sqrt{t^{2} + 1} = 0 \Longrightarrow t = \pm 1$

$y = \pm x$ - не является решением дифференциального уравнения

------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle \int \dfrac{2t}{\sqrt{t^{2} + 1} } \, dt = \int \dfrac{dx}{x^{2} }$

$\displaystyle \int \dfrac{d(t^{2} + 1)}{\sqrt{t^{2} + 1} } = \int \dfrac{dx}{x^{2} }$

$2\sqrt{t^{2} + 1} = -\dfrac{1}{x} +C$

$C = \dfrac{1}{x} +2\sqrt{t^{2} + 1}$

$\boxed{C = \dfrac{1}{x} +2\sqrt{\bigg(\dfrac{y}{x} \bigg)^{2} + 1}}$ - общий интеграл дифференциального уравнения