В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке T.AB=4см,AD=8см, площадь красной части 2см^. Найдите площадь синей части.
Ответы
Пусть биссектриса угла А параллельна стороне CD и пересекает сторону AB в точке P:
Так как биссектриса угла А делит сторону BC на отрезки BT и TC, то из подобия треугольников ABT и ADP следует:
AB/AD = BT/DP
4/8 = BT/DP
BT = DP/2
Также из подобия треугольников ATC и ADP следует:
AT/AD = TC/DP
AT/8 = TC/DP
AT = 8*TC/DP
Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна:
S = AD * AT = 8 * 8TC/DP = 64TC/DP
Площадь треугольника ADP равна:
S(ADP) = 1/2 * AD * DP * sin(A)
Так как биссектриса угла А делит угол на два равных угла, то sin(A/2) = BT/AT, откуда:
DP = 2 * BT/sin(A/2) = 2 * AB/sin(A/2)
S(ADP) = 1/2 * AD * DP * sin(A) = 1/2 * 8 * 2 * AB/sin(A/2) * sin(A) = 8AB * cos(A/2)
Таr как площадь красной части равна 2 см^2, то площадь синей части равна:
S(BCD) = S - S(ADP) - 2 = 64TC/DP - 8AB * cos(A/2) - 2
Заменяем значения AB, AD и S через TC и A:
AB = 4sin(A/2)
AD = 8
S = 8 * 4sin(A/2) = 32sin(A/2)
Также заменяем DP через AB и A:
DP = 2 * AB/sin(A/2) = 8
Подставляем все значения в выражение для площади синей части:
S(BCD) = 64TC/8 - 8 * 4sin(A/2) * cos(A/2) - 2 = 8TC - 16sin(A) - 2
Ответ: площадь синей части равна 8TC - 16sin(A) - 2.