В прямоугольном треугольнике ABC высота CH,
проведенная из вершины прямого угла, в четыре раза меньше
гипотенузы. Найдите острые углы треугольника ABC.
Ответы
Ответ:
Объяснение: Воспользуемся тем фактом, что угол может быть определен одним из своих значений синуса или косинуса, или тангенса. Так, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение соответствующих катетов. В заданном треугольнике АВС катеты неизвестны и неизвестны их связи с заданным соотношением между СН и гипотенузой АВ, поэтому поищем другие прямоугольные треугольники, которые образованы высотой СН: треугольник АСН и СНВ. Остановимся на одном из них, например, АСН. В нем задействованы СН и какая-то часть АВ, а именно АН. Если удастся АН выразить через СН, то отношение даст нам тангенс искомого острого угла А, что и требуется в задаче. Используем теорему о связи высоты, опущенной из прямого угла на гипотенузу, с отрезками, на которые высота делит гипотенузу: квадрат СН равен произведению отрезков на которые поделилась гипотенуза. Обозначив, например, АН через х и приняв во внимание, ВН=АВ-АН и АВ=4СН, мы получим уравнение из которого найдем х, то есть АН, выраженное через СН. х=АН=СН(2+корень квадратный из числа 3).
Искомый угол А будет определен своим тангенсом, а именно отношением СН к АН, равным: (2 минус корень квадратный из числа 3). Аналогично из треугольника СНВ находится тангенс угла В, который равен (2 плюс корень квадратный из числа 3).