Знайти суму чотирьох перших членів геометричної прогресії (bn), якщо різниця третього та другого її членів дорівнює 6, а різниця четвертого та другого членів дорівнює 30.
Ответы
Позначимо перший член геометричної прогресії як b₁, а її знаменник як q. Тоді:
другий член прогресії: b₂ = b₁ * q третій член прогресії: b₃ = b₂ * q = b₁ * q² четвертий член прогресії: b₄ = b₃ * q = b₁ * q³
Різниця третього та другого членів дорівнює 6: b₃ - b₂ = b₁ * q² - b₁ * q = b₁ * (q² - q) = 6
Різниця четвертого та другого членів дорівнює 30: b₄ - b₂ = b₁ * q³ - b₁ * q = b₁ * (q³ - q) = 30
Розділимо друге рівняння на перше:
(b₁ * (q³ - q)) / (b₁ * (q² - q)) = 30 / 6
q + 1 = 5
q = 4
Таким чином, знаменник геометричної прогресії q = 4. Тоді:
b₂ = b₁ * q = b₁ * 4 b₃ = b₁ * q² = b₁ * 16 b₄ = b₁ * q³ = b₁ * 64
Сума перших чотирьох членів геометричної прогресії дорівнює:
b₁ + b₂ + b₃ + b₄ = b₁ + b₁ * 4 + b₁ * 16 + b₁ * 64 = b₁ * (1 + 4 + 16 + 64) = b₁ * 85
Отже, щоб знайти суму перших чотирьох членів геометричної прогресії, потрібно знайти перший її член b₁. Для цього можна використати рівняння:
b₁ * (q² - q) = 6
Підставивши значення q = 4, маємо:
b₁ * (4² - 4) = 6
b₁ * 12 = 6
b₁ = 1/2
Отже, сума перших чотирьох членів геометричної прогресії дорівнює:
b₁ + b₂ + b₃ + b₄ = 1/2 + 2 + 32 + 128 = 163.5.