Ймовірність появи події в кожному із 900 незалежних випробувань дорівнює 0,5. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більш ніж на 0,02.
Ответы
Ответ:
Для розв'язання цієї задачі ми можемо використати центральну граничну теорему (ЦГТ), яка дозволяє нам апроксимувати розподіл суми незалежних однаково розподілених випадкових величин за допомогою нормального розподілу. У даній задачі ми маємо 900 незалежних випробувань з ймовірністю успіху 0,5. Відносна частота успіху може бути представлена як середнє арифметичне кількості успіхів.
Нехай X - це кількість успіхів у випробуваннях. X має біноміальний розподіл з параметрами n=900 та p=0,5. За ЦГТ, середнє значення X (μ) та дисперсія X (σ²) можуть бути апроксимовані за допомогою нормального розподілу:
μ = n * p = 900 * 0,5 = 450
σ² = n * p * (1 - p) = 900 * 0,5 * 0,5 = 225
σ = √σ² = √225 = 15
Тепер ми можемо знайти ймовірність того, що відносна частота успіху відхилиться від її ймовірності не більш ніж на 0,02. Відносна частота успіху дорівнює X/n, отже ми шукаємо ймовірність такої події:
P(|X/n - p| ≤ 0,02) = P(|X - 450| ≤ 0,02 * 900) = P(441 ≤ X ≤ 459)
Ми можемо використати стандартизацію, перетворивши X в стандартний нормальний розподіл Z:
Z = (X - μ) / σ
Тоді ми маємо:
P((441 - 450) / 15 ≤ Z ≤ (459 - 450) / 15) = P(-0,6 ≤ Z ≤ 0,6)
Тепер можна знайти ймовірність за допомогою таблиці стандартного нормального розподілу або використати функцію ймовірності:
P(-0,6 ≤ Z ≤ 0,6) ≈ Φ(0,6) - Φ(-0,6)
Де Φ(·) - функція ймовірності стандартного нормального розподілу.
Φ(0,6) ≈ 0,7257
Φ(-0,6) ≈ 0,2743
P(-0,6 ≤ Z ≤ 0,6) ≈ 0,7257 - 0,2743 ≈ 0,4514
Отже, ймовірність того, що відносна частота успіху відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більш ніж на 0,02, приблизно дорівнює 0,4514.