Question

Число 9 записати у вигляді добутку двох додатніх чисел, сума квадратів яких була б найменшою. У відповідь записати суму знайдених чисел.​

Answer 1

Ответ:

Сумма найденных чисел равна 6

Объяснение:

Перевод: Число 9 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма квадратов которых была бы наименьшее. В ответ записать сумму найденных чисел.

Информация: Чтобы определить точки минимума функции, требуется выполнить следующее:

1) Найти производную функции.

2) Приравнять производную нулю и определить критические точки.

3) Определить знаки производной функции в окрестности критических точек. Если знак производной меняется с "минуса" на "плюс", то критическая точка является точкой минимума.

Решение. Пусть первое число х (x>0), тогда второе число равно $\tt \dfrac{9}{x}.$

Составим по условию сумму квадратов этих чисел и обозначим как функция f(x):

$\displaystyle \tt f(x) = x^2+\left (\frac{9}{x} \right)^2 = x^2+\frac{81}{x^2}.$

1) Вычислим производную от функции:

$\displaystyle \tt f'(x) = \left (x^2+\frac{81}{x^2} \right)' = (x^2)'+\left (\frac{81}{x^2} \right)' =2 \cdot x-\frac{2 \cdot 81}{x^3}=2 \cdot x-\frac{162}{x^3}.$

2) Определим нули производной (критические точки):

$\displaystyle \tt f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot x-\frac{162}{x^3}=0 \Leftrightarrow \frac{x^4-81}{x^3}=0 \Rightarrow x^4-3^4=0 \Leftrightarrow x_1=-3, x_2=3.$

3) По условию числа положительные и поэтому рассмотрим только число x=3. Выберем числа x₃ = 2 и x₄ = 4 (окрестность точки х = 3: 2<3 и 4>3). Проверим знаки производной в этих точках:

$\displaystyle \tt f'(2) =2 \cdot 2-\frac{162}{2^3}=4-\frac{81}{4}=\frac{16-81}{4}=-\frac{65}{4} < 0;\\\\f'(4) =2 \cdot 4-\frac{162}{4^3}=8-\frac{81}{32}=\frac{256-81}{32}=\frac{175}{32} > 0.$

Значит, в точке x = 3 функция принимает наименьшее значение, то что нам надо.

Тогда x=3 и $\tt \dfrac{9}{3}=3,$ отсюда сумма этих чисел 3+3 = 6.

#SPJ1