Question

у`-у cos x=-sin 2x, y(0)=3

Answer 1

Ответ:

Для розв'язання цього диференціального рівняння першого порядку застосуємо метод інтегруючого множника.

1. Знайдемо інтегруючий множник:

множник = exp(∫-cos(x)dx) = exp(sin(x))

2. Помножимо обидві частини диференціального рівняння на інтегруючий множник:

exp(sin(x)) * (y' - y cos(x)) = -exp(sin(x)) * sin(2x)

3. Застосуємо правило диференціювання добутку для знаходження лівої частини:

d/dx (y * exp(sin(x))) = -sin(2x) * exp(sin(x))

4. Проінтегруємо обидві частини відносно x:

∫ d/dx (y * exp(sin(x))) dx = ∫ -sin(2x) * exp(sin(x)) dx

y * exp(sin(x)) = -1/2 * exp(sin(x)) + C, де С - довільна стала

5. Розв'яжемо отримане рівняння відносно y:

y = (-1/2 + C) * exp(-sin(x))

6. Знайдемо значення сталої С, використовуючи початкову умову y(0) = 3:

3 = (-1/2 + C) * exp(-sin(0))

3 = (-1/2 + C) * 1

C = 7/2

Отже, розв'язок диференціального рівняння має вигляд:

y = (-1/2 + 7/2) * exp(-sin(x)) = 3 * exp(-sin(x))

Таким чином, функція, яка задовольняє дане диференціальне рівняння та початкову умову, має вигляд y = 3 * exp(-sin(x)).