У прямокутній трапеції ABCD ADIBC, AD > BC, кут А прямий, AB= 8 см.
З вершини С до основи AD опущено перпендикуляр СК. АК-7 см, KD 6 см. Знайти
периметр трапеції.
Ответы
Ответ:
значення більшої основи трапеції.
За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику АКС, де Х - точка перетину діагоналей, маємо:
$AS = \sqrt{AK^2 - SK^2} = \sqrt{7^2 - SK^2}$
Аналогічно в прямокутному трикутнику КСD:
$DS = \sqrt{KD^2 - SK^2} = \sqrt{6^2 - SK^2}$
Оскільки AB=CD, то АС=KD і СD=АК+BS. Підставляємо значення:
$AS + SK + KD = \sqrt{7^2 - SK^2} + SK + \sqrt{6^2 - SK^2} = 8$
Звідси маємо рівняння:
$SK^2 - 64 + SK^2 - 36 + 2SK \sqrt{49-SK^2} + 2SK \sqrt{36-SK^2} = 0$
Для його розв'язування можна провести заміну $t = SK^2$, отримаємо квадратне рівняння відносно t. Розв'язуючи його, знаходимо:
$t_1 = \frac{25}{2}$ або $SK_1 = \frac{5}{\sqrt{2}}$, $SK_2 = -\frac{5}{\sqrt{2}}$
Оскільки SK не може бути від'ємним, то відповідь: BC = AS + CD = AB + 2SK + DS = $8 + 2 \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} + \sqrt{6^2 - \frac{25}{2}} \approx 16,5$ см.