Question

Найдите частное решение уравнения y''- 2 y' = x ^ 2 - 1 удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0. y' * (0) = 9/4

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle\bf y=e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x-1$

Объяснение:

Найдите частное решение уравнения y'' - 2y' = x² - 1, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0, y'(0) = 9/4.

y'' - 2y' = x² - 1

Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Сначала найдем общее решение.

Найдем корни характеристического уравнения:

k² - 2k = 0  

k (k - 2) = 0

k₁ = 0;     k₂ = 2

Получили два различных действительных корня.

⇒ общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

у₀ = С₁e⁰ˣ + C₂e²ˣ = C₁ + C₂e²ˣ

Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению у₀ и частному решению неоднородного уравнения $\tilde y$:

$\displaystyle\bf y=y_0+ \tilde y$

Найдем $\tilde y$.

Справа многочлен второй степени, тогда

$\bf \tilde y =(Ax^2+Bx+C)\cdot x=Ax^3+Bx^2+Cx$        

Найдем А, В, С из равенства:

$\bf \tilde y ''-2\tilde y '=x^2-1$          (1)

$\bf \tilde y '=3Ax^2+2Bx+C\\\\\tilde y ''=6Ax+2B$

Подставим в равенство (1):

$\bf 6Ax+2B-6Ax^2-4Bx-2C=x^2-1\\\\-6Ax^2+(6A-4B)x+(2B-2C)=x^2-1$

Приравняем коэффициенты с одинаковыми степенями х.

Получим систему уравнений и найдем А, В и С:

$\begin{equation*} \begin{cases}-6A=1 \\6A-4B=0 \\2B-2C=-1 \end{cases}\end{equation*}$

$\displaystyle A=-\frac{1}{6} \\\\-6\cdot \frac{1}{6}-4B=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;B=-\frac{1}{4} \\\\-2\cdot \frac{1}{4}-2C=-1\;\;\;\Rightarrow \;\;\;C=\frac{1}{4}$

⇒

$\displaystyle \bf \tilde y =-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x$

Общим решением линейного неоднородного уравнения будет:

$\displaystyle\bf y=C_1+C_2e^{2x}+\left (-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\right)$

Используя начальные условия y(0) = 0, y'(0) = 9/4, найдем С₁ и С₂.

$\displaystyle y(0)=C_1+C_2$

$\displaystyle y'=2C_2e^{2x}-\frac{3}{6}x^2-\frac{2}{4}x+\frac{1}{4}= 2C_2e^{2x}-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$

$\displaystyle y'(0)=2C_2+\frac{1}{4}$

Получили систему:

$\displaystyle \left \{ {{C_1+C_2=0} \atop {\displaystyle 2C_2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} }} \right. \\\\2C_2=2\;\;\;\Rightarrow \;\;\;C_2=1\\\\C_1+1=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;C_1=-1$

Частное решение уравнения:

$\displaystyle\bf y=-1+e^{2x}+\left (-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\right)$

или

$\displaystyle\bf y=e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x-1$

#SPJ1