у"-2у'+у=х^3 надо решить
Ответы
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы можем решить его с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Шаг 1: Найдите общее решение однородного уравнения
Уравнение однородно, когда правая часть равна нулю. Таким образом, мы начнем с решения уравнения:
у" - 2у' + у = 0
Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет вид:
r^2 - 2r + 1 = 0
Корни этого уравнения:
r1 = r2 = 1
Таким образом, общее решение однородного уравнения:
у(х) = c1 e^x + c2 x e^x
где c1 и c2 - произвольные постоянные.
Шаг 2: Найдите частное решение неоднородного уравнения
Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, мы используем метод неопределенных коэффициентов. Мы предполагаем, что частное решение имеет вид:
у(х) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D
где A, B, C и D - неизвестные коэффициенты, которые мы должны определить.
Теперь мы найдем производные для этой функции и подставим их в исходное уравнение:
у' = 3Ax^2 + 2Bx + C
у'' = 6Ax + 2B
Теперь мы подставляем это обратно в исходное уравнение:
6Ax + 2B - 2(3Ax^2 + 2Bx + C) + (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) = x^3
Упрощая это выражение, мы получим:
Ax^3 + (-6A + B)x^2 + (6A - 4B + C)x + (2B - 2C + D) = x^3
Таким образом, мы имеем систему уравнений:
A = 1
-6A + B = 0
6A - 4B + C = 0
2B - 2C + D = 0
Решив эту систему уравнений, мы получаем:
A = 1, B = 6, C = 12, D = -8
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:
у(х) = x^3 + 6x^2 + 12x - 8
Шаг 3: Найдите общее решение неоднородного уравнения
Общее решение неоднородного уравнения состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
у(х) = c1 e^x + c2 x e^x + x^3 + 6x^2 + 12x - 8
где c1 и c2 - произвольные постоянные.
Таким образом, мы получили полное решение данного линейного дифференциального уравнения второго порядка.