Question

Одно из оснований трапеции в 2 раза больше другого. Продолжи боковые стороны трапеции так, чтобы они пересеклись. Сколько процентов от площади трапеции составляет площадь треугольника, образованного меньшим основанием и продолжениями сторон?​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть меньшее основание трапеции равно $b$, тогда большее основание равно $2b$. Проведем боковые стороны $AD$ и $BC$ так, чтобы они пересеклись в точке $E$ (см. рисунок).

[asy]

pair A=(0,0), B=(4,0), C=(2,3), D=(1,1.5), E=(2,0);

draw(A--B--C--D--cycle);

draw(A--D);

draw(B--C);

label("$A$",A,SW);

label("$B$",B,SE);

label("$C$",C,N);

label("$D$",D,W);

label("$E$",E,S);

[/asy]

Треугольник $ABE$ подобен треугольнику $CDE$, так как они имеют по два угла, соответственно равные (вертикальные и параллельные) и общую сторону $CE$, являющуюся биссектрисой угла $C$. Таким образом, отношение высот треугольников $ABE$ и $CDE$ равно отношению соответствующих сторон:

\frac{h_{ABE}}{h_{CDE}} = \frac{AE}{CD}.

Высота $h_{ABE}$ равна высоте трапеции, то есть $\frac{h_{ABE}}{h_{CDE}} = \frac{h}{h-b}$. С другой стороны, $AE = 2b - b = b$ и $CD = 2b$, поэтому $\frac{AE}{CD} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$. Получаем:

\frac{h}{h-b} = \frac{1}{2},

откуда $h = \frac{2}{3}b$. Теперь легко вычислить площадь треугольника $ABE$:

S_{ABE} = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}b\cdot\frac{2}{3}b = \frac{1}{3}b^2.

Площадь трапеции равна $\frac{1}{2}(b+2b)h = \frac{3}{2}bh$, поэтому отношение площади треугольника $ABE$ к площади трапеции равно:

\frac{S_{ABE}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{3}b^2}{\frac{3}{2}bh} = \frac{2}{9}.

Ответ: площадь треугольника, образованного меньшим основанием и продолжениями сторон, составляет $\boxed{\frac{2}{9}}$ от площади трапеции. Это примерно 22,2%.