Question

Розв'яжіть рівняння 3(x^2+1/x^2)+2(x+1/x)=10

За теоремою Вієта зі змінною t або за дискримінантом

Answer 1

Ответ:

Почнемо з введення нової змінної. Припустимо, що t = x + 1/x. Тоді ми можемо виразити деякі вирази з початкового рівняння в термінах змінної t.

Замінимо вирази x + 1/x на t в початковому рівнянні:

3(x^2 + 1/x^2) + 2(x + 1/x) = 10

3t^2 + 2t = 10

Спочатку приведемо рівняння до стандартного вигляду:

3t^2 + 2t - 10 = 0

Застосуємо квадратну формулу:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

де a = 3, b = 2 і c = -10.

Підставляємо

t = (-2 ± √(2^2 - 4 * 3 * -10)) / (2 * 3)

t = (-2 ± √(4 + 120)) / 6

t = (-2 ± √124) / 6

t = (-2 ± 2√31) / 6

t = (-1 ± √31) / 3

Таким чином, ми отримали два рішення для змінної t: (-1 + √31) / 3 і (-1 - √31) / 3.

Оскільки ми вводили замінну t = x + 1/x, тепер ми можемо підставити назад вирази для x + 1/x:

x + 1/x = (-1 + √31) / 3

або

x + 1/x = (-1 - √31) / 3

Answer 2

$\displaystyle\bf\\\Big(x+\frac{1}{x} \Big)^{2} =x^{2} +2\cdot \underbrace{x\cdot \frac{1}{x} }_{1}+\frac{1}{x^{2} } =x^{2} +\frac{1}{x^{2} } +2\\\\\\x^{2} +\frac{1}{x^{2} } =\Big(x+\frac{1}{x} \Big)^{2} -2\\\\\\x+\frac{1}{x} =m\\\\\\x^{2} +\frac{1}{x^{2} } =m^{2} -2\\\\\\3\cdot(m^{2} -2)+2m=10\\\\3m^{2} -6+2m-10=0\\\\3m^{2} +2m-16=0\\\\D=2^{2} -4\cdot 3\cdot(-16)=4+192=196=14^{2} \\\\\\m_{1} =\frac{-2-14}{6} =-\frac{16}{6} =-\frac{8}{3}= -2\frac{2}{3}$

$\displaystyle\bf\\m_{2} =\frac{-2+14}{6} =\frac{12}{6} =2\\\\\\1) \ m=-2\frac{2}{3} \\\\\\x+\frac{1}{x} =-\frac{8}{3} \\\\\\x+\frac{1}{x} +\frac{8}{3}=0\\\\\\3x^{2}+8x+3=0 \ , \ x\neq 0\\\\D=8^{2} -4\cdot 3\cdot 3=64-36=28=(2\sqrt{7} )^{2} \\\\\\x_{1} =\frac{-8-2\sqrt{7} }{6} =-\frac{4+\sqrt{7} }{3} \\\\\\x_{2} =\frac{-8+2\sqrt{7} }{6} =\frac{\sqrt{7} -4}{3} \\\\\\2) \ m=2\\\\\\x+\frac{1}{x} =2\\\\\\x+\frac{1}{x} -2=0\\\\\\x^{2} -2x+1=0\\\\(x-1)^{2} =0\\\\x-1=0$

$\displaystyle\bf\\x_{3} =1\\\\\\Otvet \ : \ -\frac{4+\sqrt{7} }{3} \ ; \ \frac{\sqrt{7} -4}{3} \ ; \ 1$