Question

У трикутнику АВС, де <А=45° проведено висоту ВК, яка дорівнює 5✓2 см. Знайдіть сторони АВ і АС, якщо ВС вдвічі більше, ніж АК.


​

Answer 1

Ответ:

АВ=10 см, АС=5(√2+√6) см

Объяснение:

У трикутнику АВС, де ∠А=45° проведено висоту ВК, яка дорівнює 5✓2 см. Знайдіть сторони АВ і АС, якщо ВС вдвічі більше, ніж АК.

Нехай АВС - даний трикутник. ∠А=45°, ВК⊥АС, ВК=5√2 см

1.

Розглянемо прямокутний трикутник АВК(∠АКВ=90°)

За теоремою про суму кутів прямокутного трикутника знайдемо ∠АВК.

∠АВК=90°-∠А=90°-45°=45°

Отже, ΔАВК - рівнобедрений з основою АВ.

АК=ВК=5√2(см) - як бічні сторони рівнобедреного трикутника

За теоремою Пифагора знайдемо гіпотенузу АВ.

АВ²=АК²+ВК²

АВ²=(5√2)²+(5√2)²=50+50=100

АВ=10 (см)

2.

Розглянемо прямокутний трикутник ВКС(∠ВКС=90°)

За умовою ВС вдвічі більше, ніж АК. Но АК=ВК, тому гіпотенуза ВС вдвічі більше, ніж катет ВК.

• Якщо гіпотенуза прямокутного трикутника  удвічі довша від катета, то кут, що лежить навпроти цього катета, дорівнює 30°.

Отже, ∠С=30°

За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника:

$\bf tg\angle C=\dfrac{BK}{KC}$

$\sf KC=\dfrac{BK}{tg30^\circ} =\dfrac{5\sqrt{2} }{\frac{1}{\sqrt{3} } } =\bf 5\sqrt{6}$  (cм)

3.

За аксиомою вимірювання відрізків маємо:

АС=АК+КС=5√2+5√6

АС=5(√2+√6) см