1. [5 баллов] Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен √3 см. а) Найдите радиус окружности, описанной около этого же треугол-ка b) Найдите периметр данного правильного треугольника. c) Найдите площадь данного правильного треугольника. d) Найдите сторону квадрата, вписанного в данную окружность.
Ответы
а) Чтобы найти радиус описанной окружности, можно использовать формулу:
R = a/2sin(60°) = a/√3,
где a - сторона правильного треугольника.
Зная, что радиус вписанной окружности равен √3 см, мы можем найти сторону a:
r = a/2 tan(30°) => a = 2r/tan(30°) = (2 * √3)/ (1/√3) = 6 (см).
Тогда радиус описанной окружности:
R = a/√3 = 6/√3 = 2√3 (см).
б) Чтобы найти периметр правильного треугольника, нужно просто умножить длину стороны на их количество, так как все стороны в правильном треугольнике имеют одинаковую длину:
P = 3a = 3 * 6 = 18 (см).
в) Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:
S = a²/4√3,
где a - сторона правильного треугольника.
Подставляя значение a = 6, мы получим:
S = (6²)/(4√3) = 9√3 (см²).
г) Чтобы найти сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса √3 см, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный стороной квадрата, его диагональю (которая равна диаметру окружности) и отрезком, соединяющим середину диагонали с центром окружности. Из трех составляющих мы знаем две: диагональ квадрата равна 2r, а диагональ треугольника равна 2R.
Итак, 2r = сторона квадрата √2, тогда сторона квадрата:
a = 2r/√2 = √2√3 (см).