Даю 40 балів!!!!
Чи існують дотичні до графіка функції f(х)=х³+2х-1 , які перпендикулярні до прямої у=-х?
Складіть рівняння дотичної до графіка функції: 1) f(x)=√x , якщо ця дотична паралельна прямій у=х.
Обчисліть площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції f(х)=х³+х²-6х+1 у точці з абсцисою х0=1.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Існування дотичних до графіка функції f(x) у точках перетину з прямою y=-x залежить від того, чи співпадають значення похідної функції f(x) та прямої y=-1 у цих точках. Обчислимо значення похідної функції f(x):
f'(x) = 3x² + 2
Знайдемо точки перетину графіка функції з прямою y=-x:
x³ + 2x - 1 = -x
x³ + 3x + 1 = 0
Знайдемо похідну в точці перетину x=x₀:
f'(x₀) = 3x₀² + 2
Якщо f'(x₀) = -1, то дотична перпендикулярна до прямої y=-x, інакше дотичної перпендикулярної до цієї прямої не існує.
Підставимо x₀=1 у формулу для f'(x):
f'(1) = 3*1² + 2 = 5
Отже, у точці x₀=1 значення похідної f(x) не співпадає з прямою y=-1, тому дотична, що проходить через цю точку, не є перпендикулярною до прямої y=-x.
f(x) = √x
Спочатку знайдемо похідну функції f(x):
f'(x) = 1/(2√x)
За умовою задачі дотична паралельна прямій y=x, тобто має такий же нахил, як і ця пряма. Оскільки нахил дотичної дорівнює значенню похідної функції f(x) у точці дотику, то потрібно знайти значення x, для якого f'(x) = 1. Розв'язуємо рівняння f'(x) = 1:
1/(2√x) = 1
2√x = 1
√x = 1/2
x = 1/4
Точка дотику має координати (1/4, √(1/4)) = (1/4, 1/2). Знайдемо нахил дотичної:
f'(1/4) = 1/(2√(1/4)) = 1
Отже, рівняння шуканої дотичні