Question

Найдите объем правильной триугольной пирамиды у которой плоский угол при вершине равен 90⁰ а сторона основания равна 3. Подробное решение пожалуйста

Answer 1

По условию задачи сторона основания равна 3, а угол у вершины равен 90⁰. Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна апофеме (а она равна половине стороны основания пирамиды), а катет – (1/3) высоты h основания пирамиды. Тогда второй катет – высота пирамиды.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим высоту пирамиды Н, но сначала найдём h.

h = a*cos 30°= 3*(√3/2) = 3√3/2.

(1/3)h =(3√3/2)/3 = √3/2.

Отсюда находим высоту H:

H² = (3/2)² - (√3/2)² = (9/4) – (3/4) = 6/4 = 3/2.

H = √(3/2) = (√6)/2).

Теперь найдем площадь основания пирамиды S. Поскольку основание пирамиды - правильный треугольник, его площадь можно вычислить по формуле:

S = (a²√3)/4, где a - длина стороны треугольника.

В нашем случае a = 3, поэтому:

S = (3²√3)/4 = (9√3)/4

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды V по формуле:

V = (1/3)SH

V = (1/3) * (9√3)/4 * (√6/2) = (9/8)√2 ≈ 1,59099.

Ответ: объем правильной треугольной пирамиды составляет (9/8)√2.