Параллелограмм АВСD имеет угол В 45° и сторону ВС - 10 см. Надо найти его площадь и периметр используя теорему Пифагора о треугольниках (я просто не знаю, может у него какие-то ещё теоремы были).
Ответы
Объяснение:
Так как угол В равен 45°, то угол D равен 135° (смежный угол).
Разделим параллелограмм на два прямоугольных треугольника, проведя диагональ АС. Тогда ВАС - прямоугольный треугольник со сторонами 10 см и АВ, АСВ - прямоугольный треугольник со сторонами 10 см и СВ.
Из теоремы Пифагора для треугольника ВАС находим:
AB² + BC² = AC²
AB² + 10² = AC²
AB² + 100 = AC²
Аналогично, из теоремы Пифагора для треугольника АСВ получаем:
CV² + SV² = SC²
10² + (AB + BV)² = AC²
100 + AB² + 2AB·BV + BV² = AC²
Заметим, что AB² + BV² = (AB + BV)² - 2AB·BV = AC² - 100 - 2AB·BV.
Следовательно,
CV² + SV² = 100 + AC² - 100 - 2AB·BV = AC² - 2AB·BV.
Так как СВ = 10 см и угол В равен 45°, то СА = 10 см тоже. Следовательно, АСВ - это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 10 см, что значит, что BV = AB. Подставляем BV = AB в последнее выражение и находим:
CV² + SV² = AC² - 2AB²
Но мы знаем, что AB² + 100 = AC². Заменяем AC² на AB² + 100 и получаем:
CV² + SV² = AB² - 100
Мы нашли выражения для площади и периметра параллелограмма:
S = AB * CV / 2
P = 2*(AB + CV)
Заменим CV с помощью последнего выражения и найдем AB из предыдущего:
CV² + SV² = AB² - 100
AB² + 100 = AC² = AB² + BC²
BC = AB/√2 = 5√2 см
AC = √(AB²+BC²) = AB√3
AB = AC/√3 = (10+100)/√3 см
AB = 10√3 + 100√3 = 110√3 см
CV = AB/√2
S = AB * CV / 2 = AB² / 2√2
S = (110√3)² / (2 * 2√2) ≈ 1507.8 см²
P = 2*(AB + CV) = 2(AB + AB/√2)
P = 2AB(1 + 1/√2) = 2(10√3 + 100√3)(1 + √2)/√3
P ≈ 476.78 см
Итак, площадь параллелограмма равна примерно 1507.8 см², а его периметр - примерно 476.78 см.
Если тебе понравился вопрос поставь лучший