Question

. Треугольник магический, если медиана, проведённая к его большей стороне, не меньше половины длины этой большей стороны. Множество S треугольников с целыми длинами сторон и положительными площадями, у которых большая сторона длины 10 . Сколько различных
(неравных между собой) магических треугольников в S?

Answer 1

Ответ:

18.

Объяснение:

Пусть стороны треугольника a≤b≤10 и c=10. Из неравенства треугольника следует, что a+b>c=10. Условие, что медиана, проведенная к большей стороне  - к стороне  с, не меньше c/2, - равносильно нетупоугольности этого треугольника (если это кажется не совсем очевидным, можете провести простую выкладку: если m - это медиана, проведенная к c, то

                         $\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}-\dfrac{c^2}{4}=m^2\ge \dfrac{c^2}{4};\ a^2+b^2\ge c^2.$  

Но   $c^2=a^2+b^2-2bc\cos \gamma\Rightarrow 2bc\cos \gamma=a^2+b^2-c^2\ge 0\Rightarrow \gamma\le 90^{\circ}.$ А поскольку c - наибольшая сторона, другие углы и подавно острые.)

Собственно говоря, нас не интересуют углы этого треугольника, важно только, что условие задачи равносильно системе

                                          $\left\{\begin{array}{c}a\le 10\\ b\le 10\\ a+b > 10\\ a^2+b^2\ge 100\end{array}\end. .$

Да, и ещё мы решили брать a≤b (чтобы не встречались равные треугольники).

Теперь идет простой перебор. Треугольники мы будем записывать с помощью троек длин сторон в порядке (a,b,c=10).

Имеем (1,10,10); (2,10,10); (3,10,10); (4,10,10); (5,10,10); (5,9,10); (6,10,10);

(6,9,10); (6,8,10); (7,10,10); (7,9,10); (7,8,10); (8,10,10); (8,9,10); (8,8,10);

(9,10,10); (9,9,10); (10,10,10).