Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ BD пересекается с хордой AСв точке Е. Диагональ BD- биссектриса угла АВС. Найди длины диагоналей BD и AC, если CD= 2 см, BE = 3 см. ПОМОГИТЕ ПЖ.
Ответы
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ BD пересекается с хордой AС в точке Е. Диагональ BD- биссектриса угла АВС. Найди длины диагоналей BD и AC, если CD= 2 см, BE = 3 см.
Решение
1)Тк ВD- биссектриса , то ∠АВD=∠СВD ⇒ хорды равны АD=СD.
2)Тк ВD-диаметр,то ∠ВСD=∠ВАD=90°.
3) ΔАВD= ΔСВD как прямоугольные по катету и гипотенузе : АD=СD см п1, BD-общая ⇒ то ∠АDЕ=∠СDЕ=180:2=90 ⇒ СЕ⊥ВD, АС⊥ВD ⇒ АС=2*СЕ.
4) Пусть DE=x, x>0, BD=3+x
Тогда по правилу (*) имеем CD²=ED*BD , 2²=x*(3+x),
x²=3X-4=0 , x1=-4<0 ,x2=1.
DE=1 , BD=1+3=4 ( см)
4) Тогда по правилу (**) имеем CЕ²=ED*BЕ,
CЕ²=3*1, СЕ=√3 см, ⇒ АС=2√3 см
=============================
(*)Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
(**) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
