Question

Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції y=3x^4-8x^3+6x^2-9

Answer 1

Ответ:

Щоб знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції y=3x^4-8x^3+6x^2-9, потрібно спершу знайти її похідну:

y' = 12x^3 - 24x^2 + 12x

Потім дослідити знаки похідної та знайти значення аргументів, для яких похідна дорівнює нулю.

y' = 12x^3 - 24x^2 + 12x = 12x(x^2 - 2x + 1) = 12x(x-1)^2

Знаки похідної залежать від знаків множників, тому розглянемо їх окремо:

12x - зростає при x > 0, спадає при x < 0, має точку перегину при x = 0

(x-1)^2 - зростає при x > 1, спадає при 0 < x < 1, має точку перегину при x = 1

Таким чином, функція має точку мінімуму при x = 1, де значення функції дорівнює:

y(1) = 3(1)^4 - 8(1)^3 + 6(1)^2 - 9 = -8

Проміжки зростання і спадання функції можна визначити за допомогою таблиці знаків похідної:

________________

x 0 1 +∞

y' 0- 0+ 0+

-------------------------------

Отже, функція спадає на (-∞, 1) та зростає на (1, +∞).