Question

Коло, вписане у рівнобедрений трикутник, ділить його бічну сторону на відрізки 3 см і 1,5 см, починаючи від вершини, протилежної
основі. Знайдіть периметр трикутника.

Answer 1

Пусть дан рівнобедрений трикутник ABC зі стороною AB яка є основою, і точкою D, де коло вписане в трикутник, ділить сторону AC на два відрізки AD = 3 см і DC = 1.5 см.

За теоремою про вписані кути, кут ADC дорівнює половині кута BAC, тому кути BAC та BCA дорівнюють один одному, отже трикутник ABC є рівнобедреним.

Позначимо бічну сторону трикутника BC як x. Оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, то AC = x. Тоді AB = x + 4.5 (оскільки AD = 3 см і DC = 1.5 см).

За теоремою Піфагора, маємо:

BC² = AB² - AC² = (x+4.5)² - x² = 9x + 20.25

Також, за властивостями вписаного кола, півпериметр трикутника ABC дорівнює p/2 = (AD + DC + BC)/2 = 2.25 + x/2.

Отже, периметр трикутника ABC дорівнює P = 2AB + BC = 2(x+4.5) + √(9x + 20.25) = 2x + 18 + √(9x + 20.25).

Отримали формулу для периметра трикутника, залежну від довжини його бічної сторони x. Щоб знайти значення периметру, потрібно знайти значення x.

З виразу для BC², отриманого вище, маємо:

BC² = 9x + 20.25 = (3+1.5)²

Звідси отримуємо:

x = 1.5

Підставляючи x = 1.5 в формулу для периметра, маємо:

P = 2(1.5+4.5) + √(9(1.5) + 20.25) = 15 + √33

Отже, периметр трикутника дорівнює 15 + √33 см.