Question

Решите дифференциальное уравнение ydx+ctgxdx=0, y(p/3)=-1

Answer 1

Ответ:y = - √3 / (2sin(x))

Пошаговое объяснение:

Для решения дифференциального уравнения ydx + ctg(x)dx = 0, можно использовать метод разделяющихся переменных, который заключается в том, чтобы выделить переменные и проинтегрировать каждую часть по отдельности.

Выделим переменные, разделив уравнение на y:

dy/dx + ctg(x)y = 0

Перенесем ctg(x)y на правую сторону:

dy/dx = -ctg(x)y

Теперь проинтегрируем обе части:

∫1/y dy = ∫-ctg(x) dx

ln|y| = -ln|sin(x)| + C1

где С1 - произвольная постоянная интегрирования.

Решая относительно y, получим:

y = ± exp(C1) / sin(x)

Чтобы определить конкретное значение постоянной С1, воспользуемся начальным условием y(p/3) = -1:

-1 = ± exp(C1) / sin(p/3)

-1 = ± 2exp(C1) / √3

Так как sin(p/3) > 0, выбираем отрицательный знак:

-1 = - 2exp(C1) / √3

exp(C1) = √3 / 2

C1 = ln(√3 / 2)

Теперь можем записать окончательное решение:

y = - exp(ln(√3 / 2)) / sin(x)

y = - √3 / (2sin(x))

Ответ: y = - √3 / (2sin(x))