Question

Сума трьох перших членів геометричної прогресії дорівнює 42. Ті самі
числа утворюють перший, другий та шостий члени зростаючої
арифметичної прогресії. Знайдіть ці числа.

Answer 1

Ответ:  $\bf b_1=a_1=2\ ,\ \ b_2=a_2=8\ ,\ \ b_3=a_6=32$  .

Геометрическая прогрессия:  $\bf b_1\ ,\ b_2\, ,\ b_3$  .

Арифметическая прогрессия:  $\bf a_1\ ,\ a_2\ ,\ a_3\ ,\ a_4\ ,\ a_5\ ,\ a_6$  .

Общий член геометрической прогрессии равен  $\bf b_{n}=b_1q^{n-1}$  .

Общий член арифметич. прогрессии равен   $\bf a_{n}=a_1+d(n-1)$  .

$\bf a_1=b_1\ ,\ a_2=b_2\ ,\ \ a_6=b_3\ \ \ (*)\\\\b_1+b_2+b_3=42\ \ (**)$

Запишем  условие  $\bf (**)$  в виде:   $\bf b_1+b_1q+b_1q^2=42\ \ \Rightarrow$  

$\bf b_1\cdot (1+q+q^2)=42\ \ (***)$  

Разность арифметической прогрессии равна

$\bf d=a_2-a_1=b_2-b_1=b_1q-b_1$

Запишем теперь 6-ой член арифметической прогрессии:

$\bf a_6=a_1+5d=b_1+5d=b_1+5\cdot (b_1q-b_1)=b_1+5b_1q-5b_1=5b_1q-4b_1$

Но  $\bf a_6=b_3=b_1q^2$  , поэтому верно равенство

$\bf b_1q^2=5b_1q-4b_1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ b_1(q^2-5q+4)=0\ \ ,\\\\b_1\ne 0\ \ \Rightarrow \ \ \ q^2-5q+4=0\ \ ,\\\\D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9\ \ ,\ \ \sqrt{D}=3\ \ ,\\\\q_1=\dfrac{5-3}{2}=1\ ,\ \ q_2=\dfrac{5+3}{2}=4$  

Если  q=1 , то геометрическая прогрессия будет стационарной и она будет иметь равные члены, то есть будет иметь вид  $\bf b_1\ ,\ b_2=b_1\ ,\ b_3=b_1$  . Тогда не получим возрастающей арифметической прогрессии .

Значит  q=4  .

Подставим  q=4  в равенство  $\bf (***)$  .

$\bf b_1\cdot (1+4+4^2)=42\ \ \Rightarrow \ \ b_1\cdot 21=42\ \ ,\ \ b_1=2$  

Найдём первые три члена геометрической прогрессии:

$\bf b_1=2\ ,\ \ b_2=b_1q=2\cdot 4=8\ \ ,\ \ b_3=b_1q^2=2\cdot 4^2=32$  .

Убедимся, что возрастающая арифметическая прогрессия имеет

$\bf a_1=b_1=2\ ,\ \ a_2=b_2=8\ \ ,\ \ a_6=b_3=32$  .

Разность арифм. прогрессии:  

$\bf d=a_2-a_1=8-2=6\ \ ,\ \ a_6=a_1+5d=2+5\cdot 6=32$  .

Сама арифметическая прогрессия имеет вид:

$\bf 2\ ,\ 8\ ,\ 14\ ,\ 20\ ,\ 26\ ,\ 32\ .$