Question

Доказать, что при а≥0, b≥0, c≥0 выполняется неравенство: (a+2)*(b+7)*(c+14)≥ 112√abc

Answer 1

Ответ:

Доказано, что при а≥0, b≥0, c≥0 выполняется неравенство: (a+2)*(b+7)*(c+14)≥ 112√abc

Объяснение:

Из неравенства Коши , для неотрицательных чисел x,y верно :

$x+ y \geqslant 2\sqrt{xy}$

Соответственно :

$\left \{ \begin{array}{l} a + 2 \geqslant 2\sqrt{2a} \\\\ b+ 7 \geqslant 2\sqrt{7b} \\\\ c + 14 \geqslant 2\sqrt{14c} \end{array}$

Перемножаем все неравенства

$(a+2)(b+7)(c+14) \geqslant 2\sqrt{2a} \cdot 2\sqrt{7b} \cdot 2\sqrt{14c} \\\\ (a+2)(b+7)(c+14) \geqslant 8\sqrt{2\cdot 7 \cdot 14\cdot abc } \\\\ (a+2)(b+7)(c+14) \geqslant 8\sqrt{14 \cdot 14\cdot abc } \\\\ (a+2)(b+7)(c+14) \geqslant 8\cdot 14\sqrt{ abc } \\\\ (a+2)(b+7)(c+14) \geqslant 112\sqrt{ abc } ~~\checkmark$

Доказано.