Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ СРОЧНО
в треугольнике abc проведены отрезки BM к стороне AC И AF к стороне BC. данные отрезки пересекаются в T. найдите соотношение площади TFCM к ATB если AM = CM

Answer 1

Ответ:

Отношение площади четырёхугольника TFCM к площади треугольника АТВ равно 14 : 5.

Объяснение:

25. В треугольнике ABC проведены отрезки ВМ к стороне АС и AF к стороне ВС. Данные отрезки пересекаются в точке Т. Найди отношение площади четырёхугольника TFCM к площади треугольника АТВ, если AM = СМ, <CAF = <BAF, AB : AC = 1:4

Дано: ΔАВС;

ВМ ∩ AF = T;

AM = СМ; ∠CAF = ∠BAF, AB : AC = 1:4.

Найти: S(TFCM) : S(ATB)

Решение:

AM = СМ   ⇒   ВМ - медиана;

∠CAF = ∠BAF   ⇒   AF - биссектриса.

Пусть S(ABC) = S

• Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

$\displaystyle\bf S(ABM)=S(MBC)= \frac{S}{2}$

• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

⇒ BF : FC = AB : AC = 1 : 4

Пусть BF = x, тогда FC = 4x.

Рассмотрим ΔABF и ΔAFC.

h - общая высота.

• Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым эта высота проведена.

⇒ S(ABF) : S(AFC) = BF : FC = 1 : 4

Если S(ABF)  - 1 часть, тогда S(AFC) - 4 части, а S(ABC) = 5 частей.

$\displaystyle\bf S(ABF)=\frac{S}{5};\;\;\;S(AFC)=\frac{4S}{5}.$

Проведем ME || AF.

Рассмотрим ΔAFC.

AM = MC

• Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

⇒ FЕ = EC = 4x : 2 = 2x

ME - средняя линия ΔAFC.

• Средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.

⇒   $\displaystyle\bf S(MEC)=\frac{1}{4}S(AFC)=\frac{4S}{4\cdot5}=\frac{S}{5}$

Рассмотрим ΔTBF и ΔМВЕ.

TF || ME

• Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔTBF ~ ΔМВЕ.

Найдем коэффициент подобия:

$\displaystyle\bf k=\frac{BF}{BE}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$

• Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

$\displaystyle\bf \frac{S(TBF)}{S(MBE)}=k^2=\frac{1}{9}$

$\displaystyle\bf S(MBE) = S(MBC) - S(MEC) =\frac{S}{2}-\frac{S}{5}=\frac{5S-2S}{10}=\frac{3S}{10}$

$\displaystyle\bf S(TBF)=\frac{1}{9}\cdot \frac{3S}{10} =\frac{S}{30}$

Найдем площади S(TFCM) и S(ATB).

$\displaystyle\bf S(TFCM) = S(MBC) - S(TBF)=\frac{S}{2}-\frac{S}{30}=\frac{15S-S}{30} =\frac{14S}{30} =\frac{7S}{15}$

$\displaystyle\bf S(ATB)=S(ABF)-S(ATB)=\frac{S}{5}-\frac{S}{30}=\frac{6S-S}{30} =\frac{5S}{30}=\frac{S}{6}$

$\displaystyle\bf \frac{S(TFCM)}{S(ATB)}=\frac{7S\cdot 6}{15\cdot S} =\frac{14}{5}$

#SPJ1