Question

Найдите наименьшее натуральное значение k для которого
$\displaystyle \frac{1}{1^3 + 3\cdot 1^2 + 2} +\frac{1}{2^3 + 3\cdot 2^2 +4}+ \dots + \frac{1}{k^3 + 3k^2 + 2k }\ \textgreater \ \frac{249}{1000}$

Answer 1

Ответ:

21.

Объяснение:

В процессе решения мы будем пользоваться формулой

                                    $\dfrac{1}{n(n+p)}=\dfrac{1}{p}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+p}\right).$

В частности,

                   $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1};\ \ \ \dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right).$

Имеем:

              $\dfrac{1}{m^3+3m^2+2m}=\dfrac{1}{m(m+1)(m+2)}=\dfrac{1}{m(m+1)}\cdot \dfrac{1}{m+2}=$

               $=\left(\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{m+1}\right)\cdot \dfrac{1}{m+2}=\dfrac{1}{m(m+2)}-\dfrac{1}{(m+1)(m+2)}=$

    $=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{m+2}\right)-\left(\dfrac{1}{m+1}-\dfrac{1}{m+2}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{m+1}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{m+2}.$

Раскладывая по этой формуле все дроби, получаем

       $(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4})+(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5})+\ldots+$

 $+(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k-2}-\frac{1}{k-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k})+(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k+1})+(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k+2})=$

  $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{k+2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{(k+1)(k+2)} > \dfrac{249}{1000}\Leftrightarrow$

                     $\dfrac{1}{(k+1)(k+2)} < \dfrac{1}{500}\Leftrightarrow (k+1)(k+2) > 500.$

Решать квадратное неравенство с помощью дискриминанта лень, поступим проще. Заметим, что левая часть неравенства монотонно возрастает на множестве положительных чисел (а по условию k - натуральное число; мы этим уже пользовались при последнем преобразовании), поэтому достаточно подобрать такое k, что

                     ((k-1)+1)(k-1)+2)≤500, а (k+1)(k+2)>500.

Поскольку  $\sqrt{500}=22,3\ldots,$ рассмотрим произведение

                              22·23=506>500, 21·22=462<500.

Поэтому наименьшее натуральное число, удовлетворяющее исходному неравенству, это k=22-1-21.