Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ!!
Основа прямої призми - рівнобедрений трикутник із кутом «а» при основі. Діагональ бічної грані призми, яка міс-тить основу рівнобедреного трикутника, дорівнює «d» і на хилена до площини основи під кутом «В». Знайдіть обʼем
призми.

Answer 1

Ответ:

Объем призмы равен   $\displaystyle \frac{1}{4}d^3cos^2\beta \;sin\beta \;tg\alpha$  ед³.

Объяснение:

Основа прямой призмы - равнобедренный треугольник с углом α при основании. Диагональ боковой грани призмы, которая содержит основание равнобедренного треугольника, равна d и наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.

Дано: АВСА₁В₁С₁ - прямая призма;

ΔАВС - равнобедренный;

∠ВАС = ∠ВСА = α;

АС₁ = d - диагональ боковой грани;

∠С₁АС = β.

Найти: V призмы.

Решение:

• Объем призмы равен:

      V = Sосн · h,

где Sосн - площадь основания, h - высота.

Рассмотрим ΔАС₁С - прямоугольный;

• Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle sin\beta =\frac{C_1C}{AC_1}\\ \\C_1C=AC_1\;sin\beta =d\;sin\beta$

Высота призмы равна d sinβ.

• Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle cos\beta =\frac{AC}{AC_1}\\ \\AC=AC_1\;cos\beta =d\;cos\beta$

Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.

Проведем высоту ВН.

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой.

⇒     $\displaystyle AH=HC=\frac{d\;cos\beta }{2}$

Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный.

• Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\displaystyle tg\alpha =\frac{BH}{AH} \\\\BH=AH\;tg\alpha =\frac{d\;cos\beta \;tg\alpha }{2}$

Можем найти площадь основания.

• Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения основания на высоту.

$\displaystyle S_{OCH}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{d\;cos\beta\cdot d\;cos\beta \;tg\alpha }{2\cdot2} =\\\\=\frac{d^2cos^2\beta \;tg\alpha }{4}$

Теперь найдем объем призмы:

$\displaystyle \bf V=\frac{d^2cos^2\beta \;tg\alpha }{4}\cdot d\;sin\beta =\\ \\=\frac{1}{4}d^3cos^2\beta \;sin\beta \;tg\alpha$

#SPJ1