помогите пожалуйста В арифметичній прогресії (ап) перший член дорівнює 1, а су- ма перших семи членів 2555. Знайди четвертий член гео- метричної прогресії (b), яка містить сім членів, якщо пер- ший та останній члени збігаються з відповідними членами вказаної арифметичної прогресії.
Ответы
Ответ:
Нехай четвертий член геометричної прогресії дорівнює b. Тоді, згідно з умовою задачі, останній (сьомий) член геометричної прогресії дорівнює b^3.
Також за формулами для арифметичної прогресії:
a1 = 1
an = a1 + (n-1)d
де d - різниця прогресії.
З умови задачі відомо, що сума перших семи членів арифметичної прогресії дорівнює 2555:
S7 = (a1 + a7) * 7 / 2 = (1 + a1 + 6d) * 7 / 2 = 2555
З урахуванням того, що a1 = 1, отримуємо рівняння:
7 + 42d = 2 * 2555 / 7
Розв'язуючи його, отримуємо:
d = 81
Отже, четвертий член геометричної прогресії дорівнює:
b = a1 * q^3
де q - знаменник геометричної прогресії.
Для знаходження q скористаємося формулою для суми геометричної прогресії:
Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
де Sn - сума n членів геометричної прогресії.
З умови задачі відомо, що сума всіх 7 членів геометричної прогресії дорівнює останньому члену арифметичної прогресії, тобто b^3:
b + b*q + b*q^2 + b*q^3 + b*q^4 + b*q^5 + b*q^6 = a1 + 6d
b * (1 - q^7) / (1 - q) = 6d + a1
Підставляємо значення і розв'язуємо рівняння:
b * (1 - q^7) / (1 - q) = 6 * 81 + 1
b * (q^7 - 1) / (q - 1) = 487
b * (q^6 + q^5 + q^4 + q^3 + q^2 + q + 1) = 487
Оскільки кількість членів геометричної прогресії дорівнює 7, то q^6 + q^5 + q^4 + q^3 + q^2 + q + 1 = 7.
Підставляємо це значення в рівняння і розв'язуємо його:
b * 7 = 487
b = 487/7 ≈ 69.57
Відповідь: четвертий член геометричної прогресії дорівнює приблизно 69.57.