Question

Вычислить детерминант, 2.16.​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Будем приводить определитель к треугольному виду по этапам:

$\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\5&0&-6&1\\-2&2&1&3\\-1&3&2&1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\0&-\dfrac{5}{3}&-\dfrac{28}{3}&1\\0&\dfrac{8}{3}&\dfrac{7}{3}&3\\0&\dfrac{10}{3}&\dfrac{8}{3}&1\end{array}\right|=\dfrac{1}{27}\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\0&-5&-28&3\\0&8&7&9\\0&10&8&3\end{array}\right|$

Здесь мы сначала умножили первую строку определителя на $-5/3$ и сложили ее со второй строкой. Затем умножили первую строку на $2/3$ и сложили ее с третьей строкой определителя. Наконец умножили первую строку на $1/3$ и сложили ее с четвертой строкой определителя.

Теперь у нас получился определитель, в котором весь первый столбец, кроме первого элемента этого столбца, состоит из нулей.

НО! Сам определитель принял ужасный для счета вид: в нем стало полно дробей. Поэтому выносим из строк 2, 3 и 4 определителя коэффициент $1/3$, чтобы привести его к удобному для работы виду.

$\dfrac{1}{27}\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\0&-5&-28&3\\0&8&7&9\\0&10&8&3\end{array}\right|=\dfrac{1}{27}\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\0&-5&-28&3\\0&0&-\dfrac{189}{5}&\dfrac{69}{5}\\0&0&-48&9\end{array}\right|=\dfrac{9}{135}\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\0&-5&-28&3\\0&0&-63&23\\0&0&-16&3\end{array}\right|$

Здесь делаются аналогичные действия.

По этой причине комментарии к этим шагам опускаются.

$\dfrac{9}{135}\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\0&-5&-28&3\\0&0&-63&23\\0&0&-16&3\end{array}\right|=\dfrac{9}{135}\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\0&-5&-28&3\\0&0&-63&23\\0&0&0&-\dfrac{179}{63}\end{array}\right|=\dfrac{9}{135\cdot63}\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\0&-5&-28&3\\0&0&-63&23\\0&0&0&-179\end{array}\right|$

Здесь вновь делаются аналогичные шаги.

Ура! Определитель приведен к треугольному виду. А значит он равен произведению элементов на его главной диагонали.

Вычислим этот определитель:

$\dfrac{9}{135\cdot63}\cdot3\cdot(-5)\cdot(-63)\cdot(-179)=-179$

Итого, нами было получено, что:

$\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\5&0&-6&1\\-2&2&1&3\\-1&3&2&1\end{array}\right|=-179$

Задание выполнено!