Question

Вычислить детерминант, 2.16.
Фото:​

Answer 1

Ответ:

$i=3\ ,\ j=2\\\\\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\5&0&-6&1\\-2&2&1&3\\-1&3&2&1\end{array}\right|$  

a)  Найти миноры и алгебраические дополнения к элементам $\bf a_{i2}\ ,\ a_{3j}$  

, то есть к элементам  $\bf a_{32}\ ,\ a_{32}$  .

$\bf M_{32}=\left|\begin{array}{ccc}3&2&0\\5&-6&1\\-1&2&1\end{array}\right|=3\cdot \left|\begin{array}{ccc}-6&1\\2&1\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{ccc}5&1\\-1&1\end{array}\right|+0\cdot \left|\begin{array}{ccc}5&-6\\-1&2\end{array}\right|=\\\\\\=3\cdot (-6-2)-2\cdot (5+1)+0=-24-12=-36\\\\A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot M_{32}=-1\cdot (-36)=36$

б)  Вычислить определитель , разложив по элементам  i=3 строки .

$\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\5&0&-6&1\\-2&2&1&3\\-1&3&2&1\end{array}\right|=-2\cdot \left|\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&-6&1\\3&2&1\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{ccc}3&2&0\\5&-6&1\\-1&2&1\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{ccc}3&1&0\\5&0&1\\-1&3&1\end{array}\right|-\\\\\\-3\cdot \left|\begin{array}{ccc}3&1&2\\5&0&-6\\-1&3&2\end{array}\right|=-2\cdot \Big((-6-2)-2(-3)\Big)-2\cdot \Big(3(-6-2)-2(5+1)\Big)+\\\\\\+\Big(3(0-3)-(5+1)\Big)-3\cdot \Big(3(0+18)-(10-6)+2(15+0)\Big)=$

$=-2\cdot (-2)-2\cdot (-36)-15-3\cdot 80\bf =-179$  

в)  Вычислить определитель , разложив по элементам j=2 cтолбца .  

$\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\5&0&-6&1\\-2&2&1&3\\-1&3&2&1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}5&-6&1\\-2&1&3\\-1&2&1\end{array}\right|+0-2\cdot \left|\begin{array}{ccc}3&2&0\\5&-6&1\\-1&2&1\end{array}\right|+3\cdot \left|\begin{array}{ccc}3&2&0\\5&-6&1\\-2&1&3\end{array}\right|=\\\\\\=-\Big(5(1-6)+6(-2+3)+(-4+1)\Big)-2\cdot (3(-6-2)-2(5+1)\Big)+\\\\\\+3\cdot \Big(3(-18-1)-2(15+2)\Big)=-(-22)-2\cdot (-36)+3\cdot (-91)=\\\\=22+72-273\bf =-179$

г)  Вычислить определитель , приведя элементы j=2 столбца к 0 .

$\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\5&0&-6&1\\-2&2&1&3\\-1&3&2&1\end{array}\right|=$  

1 строку умн. на (-2) и прибавим к 3 строке ;  1 стр. умн. на (-3) +  4 стр.

$=\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\5&0&-6&1\\-8&0&-3&3\\-10&0&-4&1\end{array}\right|=-1\cdot \left|\begin{array}{ccc}5&-6&1\\-8&-3&3\\-10&-4&1\end{array}\right|=-5(-3+12)-6(-8+30)-\\\\\\-(32-30)=-45-132-2\bf =-179$  

д)  Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду .

Сначала поменяем местами 1 и 2 столбцы, знак определителя изменится на противоположный .

$\left|\begin{array}{cccc}3&1&2&0\\5&0&-6&1\\-2&2&1&3\\-1&3&2&1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}1&3&2&0\\0&5&-6&1\\2&-2&1&3\\3&-1&2&1\end{array}\right|=$  

1 строку умн. на (-2) + к 3 строке ;   1 стр. умн. на (-3) + 4 стр.  

Затем поменяем 2 и 4 столбцы местами .

$=-\left|\begin{array}{cccc}1&3&2&0\\0&5&-6&1\\0&-8&-3&3\\0&-10&-4&1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1&0&2&3\\0&1&-6&5\\0&3&-3&-8\\0&1&-4&-10\end{array}\right|=$

2 стр. умн. на (-3) + 3 стр.  ;  от 4 строки вычтем 2 стр.  

$=\left|\begin{array}{cccc}1&0&2&3\\0&1&-6&5\\0&0&15&-23\\0&0&2&-15\end{array}\right|=$  

4 строку умн. на (-7) + 3 cтроке

$=\left|\begin{array}{cccc}1&0&2&3\\0&1&-6&5\\0&0&1&82\\0&0&2&-15\end{array}\right|=$  

3 cтроку умн. на (-2) + 4 строке    

$=\left|\begin{array}{cccc}1&0&2&3\\0&1&-6&5\\0&0&1&82\\0&0&0&-179\end{array}\right|=1\cdot 1\cdot 1\cdot (-179)\bf =-179$