Question

а) Пусть  sina=5/13 и п/2 < а<п . Найдите: sin2a , cos2a, ctg2a.

б)  Пусть  tg=3/4 и п<а<3п/2. Найдите: sinа/2 , cosа/2, ctgа/2.

помогите пожалуйста!

Answer 1

=============== а ===============
т.к. $frac{ pi }{2} textless alpha textless pi Rightarrow alpha in$ II четверти, где $cos alpha textless 0 , tg alpha textless 0 , ctg alpha textless 0$. Поэтому:
$cos alpha =- sqrt{1-sin^2 alpha }=- sqrt{1- frac{25}{169} }= - sqrt{frac{169-25}{169} }= - sqrt{frac{144}{169} }= - frac{12}{13}\\ sin2 alpha =2cdot sin alpha cdot cos alpha = 2cdot frac{5}{13} cdot (-frac{12}{13})=- frac{120}{169} \\ cos2 alpha =2cos^2 alpha -1=2cdot (- frac{12}{13})^2 -1= frac{2cdot144}{169}-1= frac{288-169}{169}= frac{119}{169}$
$ctg2 alpha = frac{cos2 alpha }{sin2 alpha } =frac{119}{169} : (- frac{120}{169} )=frac{119}{169} cdot (- frac{169}{120} )=- frac{119}{120}$

=============== б ===============
т.к. $pi textless alpha textless frac{3 pi }{2} Rightarrow alpha in$ III четверти, где $sin alpha textless 0 , cos alpha textless 0 , tg alpha textgreater 0, ctg alpha textgreater 0$

$tg^2 alpha +1= frac{1}{cos^2 alpha } \\ cos alpha =- sqrt{ frac{1}{tg^2 alpha +1} } =-sqrt{ frac{1}{( frac{3}{4} )^2 +1} }=-sqrt{ frac{1}{frac{9}{16} +1} }=-sqrt{ frac{1}{frac{25}{16}} }=- sqrt{ frac{16}{25} }=- frac{4}{5}$

т.к. $pi textless alpha textless frac{3 pi }{2} Rightarrow frac{ pi }{2} textless frac{ alpha }{2} textless frac{3 pi }{4} Rightarrow frac{ alpha }{2} in$ II четверти, где $sin frac{ alpha }{2} textgreater 0, cos frac{ alpha }{2} textless 0, ctg frac{ alpha }{2} textless 0$. Поэтому:
$sin^2 frac{ alpha }{2} = frac{1-cos alpha }{2} \ sin frac{ alpha }{2} = sqrt{frac{1-cos alpha }{2} }= sqrt{frac{1-(- frac{4}{5} ) }{2} }= sqrt{frac{1+frac{4}{5} }{2} }=sqrt{frac{frac{9}{5} }{2} }= sqrt{ frac{9}{10} }= frac{3}{ sqrt{10} } \\ cos frac{ alpha }{2} =- sqrt{1-sin^2frac{ alpha }{2}} =- sqrt{1-(frac{3}{ sqrt{10} })^2} =- sqrt{1- frac{9}{10} } =- frac{1}{ sqrt{10} }$
$ctg frac{ alpha }{2}= frac{cos frac{ alpha }{2} }{sin frac{ alpha }{2} } =(- frac{1}{ sqrt{10} }):frac{3}{ sqrt{10} } =(- frac{1}{ sqrt{10} }) cdot frac{ sqrt{10} }{ 3 } =- frac{1}{3}$