Question

Дослідіть дану функцію та побудуйте її графік:
f(x)=x-x^3

Answer 1

Ответ:

График построен.

Объяснение:

Исследовать функцию и построить график:

f(x) = x - x³

1. Область определения функции   х ∈ R

2. Четность, нечетность:

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

f(-x) = -x - (-x)³ = -(x - x³)   ⇒   f(-x) = -f(x) - функция нечетная.

3. Пересечение с осями.

1) пересечение с осью Ох   ⇒   у = 0

х - х³ = 0

х(1 - х)(1 + х) = 0   ⇒  х₁ = 0;   х₂ = 1;   х₃ = -1.

2) пересечение с осью Оу   ⇒   х = 0

у = 0

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Наклонная  y = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (1-x^2)=-\infty$

⇒ наклонных асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

f'(x) = 1 - 3x²

f'(x) = 0   ⇒ (1 - √3 x)(1 + √3 x)

x₁ = 1/√3 ≈ 0,6;    x₂ = -1/√3 ≈ -0,6

Знаки:

$---[-0,6]+++[0,6]---$

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция возрастает на промежутке: [-0,6; 0,6];

Функция убывает на промежутках: (-∞; -0,6];   [0,6; +∞)

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x min = -0,6;     x max = 0,6.

f(-0,6) = -0,4;     f(0,6) = 0,4

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

f''(x) = -6x

f''(x) = 0   ⇒   x = 0

$+++[0]---$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция вогнута на промежутке: (-∞; 0];

Функция выпукла на промежутке [0; +∞)

х перегиба = 0

Строим график.