Question

Бісектриса кута А вписаного чотирикутника ABCD збігається 3 Діагоналлю АС. Доведіть, що ВС=CD.
Помогите пожалуйста, дам 30 баллов​

Answer 1

Для початку, ми можемо скористатися тим, що вписаний чотирикутник має протилежні кути, які доповнюють один одного до 180 градусів. Тобто, наприклад, кути А і С, або кути В і D є доповнюючими.

Нехай бісектриса кута А перетинає діагональ BD в точці Е, а діагональ AC в точці F. Оскільки Е є серединою BD, то BD ділиться ним на дві рівні частини, тобто BE = ED.

Оскільки АВСD є вписаним чотирикутником, то кути В і D є доповнюючими. Також, оскільки Е лежить на бісектрисі кута А, то кути BЕА і СЕА мають однаковий розмір. Аналогічно, оскільки F лежить на бісектрисі кута С, то кути CFA і DFA мають однаковий розмір.

Застосуємо тепер теорему синусів до трикутників ABE і ADE:

sin(AEB) = AE / AB та sin(AED) = AE / AD

Оскільки кути BЕА і СЕА мають однаковий розмір, то sin(AEB) = sin(AEC). Аналогічно, оскільки кути CFA і DFA мають однаковий розмір, то sin(AFD) = sin(AFC).

Тепер ми можемо записати наступну рівність для трикутника ABE:

AE / AB = AE / AD * sin(DAE) / sin(BAE)

За умовою задачі, бісектриса кута А збігається з третьою діагоналлю АС, тобто AF = FC. Отже, ми можемо записати наступну рівність для трикутника ACF:

AE / AC = AE / AF * sin(CAE) / sin(FAE)

Помітимо, що AE / AB = AE / AC, бо вони є спільними сторонами в трикутниках ABE і ACF. Також, sin(DAE) / sin(BAE) = sin(CAE) / sin(FAE), бо кути BAE і FAE є доповнюючими до кутів DAE і CAE відповідно, а кути DAE і CAE є однаковим