№1. Визнач, де розміщений центр описаного навколо трикутника кола, якщо кути трикутника відносяться як:
а) 7:2:6
б) 3:4:5
в) 1:1:4
№2. Трикутник зі сторонами 6 см, 8 см та 10 см прямокутний. Визнач, чому дорівнює радіус кола, описаного навколо цього трикутника.
№3. Трикутник зі сторонами 15 см, 20 см та 25 см прямокутний. Визнач, чому дорівнює радіус кола, описаного навколо цього трикутника.
№4. Знайди радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника зі сторонами 13 см, 12 см та 5 см.
№5. Трикутник зі сторонами 9 см, 12 см та 15 см прямокутний. Визнач, чому дорівнює радіус кола, описаного навколо цього трикутника.
№6. У трикутнику АВС кут А дорівнює 400. Знайди інші кути трикутника, якщо центр описаного навколо нього кола лежить на стороні АС.
Ответы
№1.
а) У трикутнику кут біля центра описаного кола дорівнює удвічі куту при вершині, тому щоб знайти відповідь, треба спочатку визначити найбільший кут трикутника і поділити його на 2. Нехай x - множник кутів трикутника. Тоді отримаємо систему рівнянь:
7x + 2x + 6x = 180
15x = 180
x = 12
Отже, кути трикутника дорівнюють 84°, 24° та 72°. Центр описаного кола знаходиться на перетині бісектрис.
б) Знову за формулою для кута біля центра кола маємо:
3x + 4x + 5x = 180
12x = 180
x = 15
Отже, кути трикутника дорівнюють 36°, 48° та 96°. Центр описаного кола знаходиться на перетині бісектрис.
в) Аналогічно попереднім варіантам:
x + x + 4x = 180
6x = 180
x = 30
Кути трикутника дорівнюють 30°, 30° та 120°. Центр описаного кола знаходиться на середині діаметра, що проходить через вершину з кутом 120°.
№2. За теоремою про описаний коло в прямокутному трикутнику радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Тому радіус описаного навколо трикутника зі сторонами 6 см, 8 см та 10 см дорівнює 5 см.
№3. Аналогічно попередньому варіанту за теоремою про описане коло в прямокутному трикутнику радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи. Тому радіус описаного навколо трикутника зі сторонами 15 см, 20 см та 25 см дорівнює 12,5 см.
№4. Даний трикутник є прямокутним, тому радіус кола, описаного навколо нього, є напівсумою катетів. Таким чином, радіус дорівнює (13+12+5)/2=15 см.
Відповідь: 15 см.
№5. Даний трикутник також є прямокутним, тому радіус кола, описаного навколо нього, є напівдіаметром гіпотенузи. Гіпотенуза дорівнює 15 см, тому радіус кола дорівнює 15/2=7.5 см.
Відповідь: 7.5 см.
№6. Оскільки центр кола, описаного навколо трикутника, лежить на стороні АС, то кут В дорівнює напівсумі кутів A і C. Отже,
кут B = 180° - кут A - кут C = 180° - 40° - (180° - 40° - кут B/2) = 80°.
Залишилося знайти кут C. Він дорівнює 180° - кути A і B, тобто
кут C = 180° - 40° - 80° = 60°.
Відповідь: кут B = 80°, кут C = 60°.