Question

Дифференциальные уравнения первого порядка

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Номер 1:

$y'=\dfrac{y^2}{x^2}-2\dfrac{y}{x}+2$

Введем замену:

$y=zx,\;y'=z'x+z$

Тогда уравнение примет вид:

$z'x+z=z^2-2z+2\\z'x=z^2-3z+2\\\dfrac{dz}{dx}x=(z-1)(z-2)\\\dfrac{dz}{(z-1)(z-2)}=\dfrac{dx}{x}\;\;\;(*)$

Очевидно, что $x=0$ не особое решение исходного уравнения.

А вот $z=1\;(y=x)$ и $z=2\;(y=2x)$ будут особыми решениями.

Теперь переходим к интегрированию обеих частей равенства:

$\Large \int \dfrac{dz}{(z-1)(z-2)}=\int\dfrac{dx}{x}$

$\dfrac{1}{(z-1)(z-2)}=\dfrac{(z-1)-(z-2)}{(z-1)(z-2)}=\dfrac{1}{z-2}-\dfrac{1}{z-1}$

Откуда получаем:

$\ln|z-2|-\ln|z-1|=\ln|C_0x|\\\left(\dfrac{z-2}{z-1}\right)^2=Cx^2$

Тогда итоговый ответ имеет вид:

$(y-2x)^2=Cx^2(y-x)^2$

Заметим, что решение $y=2x$ входит в записанное выше при $C=0$.

Тогда в ответе его можно не писать.

Итого:

$(y-2x)^2=Cx^2(y-x)^2,\;\;\;y=x$

Номер 2:

$xy'=3\sqrt{2x^2+y^2}+y\\x(z'x+z)=3|x|\sqrt{2+z^2}+zx\\\dfrac{dz}{dx}|x|=3\sqrt{2+z^2}\\\dfrac{dz}{3\sqrt{2+z^2}}=\dfrac{dx}{|x|}$

$x=0$ не особое решение, корень положителен.

$\Large\int\dfrac{dz}{3\sqrt{2+z^2}}=\int\dfrac{dx}{|x|}$

$\dfrac{1}{3}\ln|z+\sqrt{z^2+2}|=\mathrm{sgn}(x)\ln|C_0x|\\\\\ln\left|\dfrac{y}{x}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2}+2}\right|=\mathrm{sgn}(x)\ln|Cx^3|$

Номер 3:

$y'+\dfrac{2x}{1+x^2}y=\dfrac{2x^2}{1+x^2}$

Замена:

$y=uv,\;y'=u'v+uv'$.

$u'v+uv'+\dfrac{2x}{1+x^2}uv=\dfrac{2x^2}{1+x^2}\\u'v+u\left(v'+\dfrac{2x}{1+x^2}v\right)=\dfrac{2x^2}{1+x^2}\;\;\;(*)$

$v'+\dfrac{2x}{1+x^2}v=0\\\dfrac{dv}{dx}=-\dfrac{2x}{1+x^2}v\\\dfrac{dv}{v}=-\dfrac{d(1+x^2)}{1+x^2}$

$\Large\int\dfrac{dv}{v}=-\int\dfrac{d(1+x^2)}{1+x^2}$

$v=\dfrac{\widetilde{C}_0}{1+x^2}$

Возьмем $v=\dfrac{1}{1+x^2}$

Подставляем в $(*):$

$\dfrac{u'}{1+x^2}=\dfrac{2x^2}{1+x^2}\\u'=2x^2$

$\Large u=2\int x^2dx$

$u=\dfrac{2x^3}{3}+C_0$

Обратная замена:

$y=\dfrac{2x^3+C}{3(1+x^2)}$

Найдем теперь $C$.

$y(0)=\dfrac{C}{3}=\dfrac{2}{3},\;\Rightarrow\;C=2$

То есть ответ имеет вид:

$y=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1+x^3}{1+x^2}$

Задание выполнено!