Question

ДАЮ 100 БАЛЛІВ
Обчислити за попомогою переходу до полярных координат.
потрібно ще намалювати малюнок для подальшого визначення меж інтегрування ​​

Answer 1

Решение.

Формулы перехода к полярным координатам :  

  $\bf x=r\, cos\varphi \ \ ,\ \ y=r\ sin\varphi \ \ ,\ \ dx\, dy=r\, dr\, d\varphi$

 

$\bf x=\pm \sqrt{9-y^2}\ \ \Rightarrow \ \ x^2+y^2=9\ \ \ \Rightarrow \ \ r^2cos^2\varphi +r^2sin^2\varphi =9\ \ \Rightarrow \ \ r=3\\\\y\geq 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ r\, sin\varphi \geq 0\ \ ,\ \ sin\varphi \geq 0\ \ ,\ \ 0\leq \varphi \leq \pi \\\\x=0\ \ \Rightarrow \ \ \ r\, cos\varphi =0\ \ ,\ \ cos\varphi =0\ \ ,\ \ \varphi =\dfrac{\pi }{2}$

Если задано условие  у≥0 , то получим полукруг с центром в точке (0,0) и радиуса r=3 . Тогда задавать х=0 (ось ОУ) незачем. Возможно было задано  х≥0  или  х≤ 0 . Тогда областью интегрирования была бы четверть круга .  Считаем, что х≥0 .

$\bf \displaystyle \iint \limits _{D}\frac{dx\, dy}{25-x^2-y^2}=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \, d\varphi \int\limits_0^3\, \frac{r\, dr}{25-r^2}=-\frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \, d\varphi \int\limits_0^3\, \frac{-2r\, dr}{25-r^2}=\\\\\\=-\frac{1}{2}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \, d\varphi \int\limits_0^3\, \frac{ d(25-r^2)}{25-r^2}=-\frac{1}{2}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \, d\varphi \Big(ln|\, 25-r^2\, |\ \Big|_0^3\Big)=$  

$\bf \displaystyle =-\frac{1}{2}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\, \Big(ln16-ln25\Big)\, d\varphi =-\frac{1}{2}\cdot ln\frac{16}{25}\cdot \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\, d\varphi =-\frac{1}{2}\cdot 2\, ln\frac{4}{5}\cdot \varphi \ \Big|_0^{\frac{\pi }{2}}=\\\\\\=ln\frac{5}{4}\cdot \Big(\frac{\pi }{2}-0\Big)=ln(1,25)\cdot \frac{\pi }{2}$