Question

Крестьянину под посев был выдан прямоугольный участок земли, диагональ которого равна 100 м. Выйдя на пенсию, крестьянин решил передать часть участка родственникам. Для этого длину участка он уменьшил на 62 м, а ширину на 50 м. Чему будет равна диагональ нового участка, если периметр полученного уменьшился в 5 раз?

Answer 1

Пусть стороны исходного участка равны $a$ м и $b$ м.

По условию, диагональ исходного участка равна 100 м. Значит:

$\sqrt{a^2+b^2}=100$

$a^2+b^2=10000$

Также запишем периметр исходного участка:

$P_1=2(a+b)$

По условию, стороны исходного участка уменьшились на 62 м и 50 м соответственно. Тогда, периметр нового участка:

$P_2=2((a-62)+(b-50))=2(a+b-112)$

С другой стороны, известно, что периметр нового участка уменьшился в 5 раз по сравнению с периметром исходного участка:

$P_2=\dfrac{P_1}{5} =\dfrac{2(a+b)}{5}$

Приравняем два выражения для периметра нового участка:

$2(a+b-112)=\dfrac{2(a+b)}{5}$

$5(a+b-112)=a+b$

$5(a+b)-560=a+b$

$4(a+b)=560$

$a+b=140$

Объединим последнее уравнение и уравнение, полученное из условия про диагональ, в систему и решим ее:

$\begin{cases} a^2+b^2=10000 \\ a+b=140 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим одну из переменных:

$b=140-a$

И подставим в первое уравнение:

$a^2+(140-a)^2=10000$

$a^2+19600-280a+a^2=10000$

$2a^2-280a+9600=0$

$a^2-140a+4800=0$

По теореме Виета:

$\begin{cases} a_1+a_2=140 \\ a_1a_2=4800 \end{cases}$

$\Rightarrow a_1=60 \Rightarrow b_1=140-a_1=140-60=80$

$\Rightarrow a_2=80 \Rightarrow b_2=140-a_2=140-80=60$

Выше в решении мы предположили, что сторону $a$ будут уменьшать на 62 м. Первое решение не удовлетворяет этому условию.

Значит:

$a=80;\ b=60$

Найдем стороны нового участка:

$a'=80-62=18$ (м)

$b'=60-50=10$ (м)

Найдем диагональ нового участка:

$\sqrt{(a')^2+(b')^2}=\sqrt{18^2+10^2} =\sqrt{324+100}=\sqrt{424} =2\sqrt{106}$ (м)

Ответ: $2\sqrt{106}$ м