Дано, что 90°≤α≤180° , sec α= 1+a. Вычислить tgα. Каким должно быть число а?
Ответы
Мы знаем, что `sec α = 1/cos α`. Заменяя sec α на `1+a`, мы можем записать уравнение: `1+a = 1/cos α`. Так как `cos α` является знакопостоянной функцией на интервале `90°≤α≤180°` и не принимает значение 0, то можно сделать вывод, что `cos α > 0` на этом интервале, и мы можем разделить обе части на `cos α`, получая:
1/cos α = 1 + a
cos α = 1/(1 + a)
Теперь мы можем использовать определение тангенса для нахождения `tan α`:
tan α = sin α / cos α
Находим значение синуса:
sin α = √(1 - cos² α) = √(1 - (1/(1 + a))²) = √(1 - 1/(1 + 2a + a²))
Теперь можем записать тангенс:
tan α = sin α / cos α = √(1 - 1/(1 + 2a + a²)) / (1/(1 + a))
Чтобы определить, каким должно быть `a`, чтобы этот тангенс имел смысл и находился на интервале `90°≤α≤180°`, нужно учесть, что на этом интервале тангенс отрицательный. Таким образом, нужно решить следующее неравенство:
√(1 - 1/(1 + 2a + a²)) / (1/(1 + a)) < 0
Общий знаменатель в правой части неравенства положительный, поэтому мы можем умножить обе части на него, меняя знак при переносе:
√(1 - 1/(1 + 2a + a²)) * (1 + a) > 0
Так как извлечение квадратного корня возможно только для неотрицательных значений, необходимо убедиться, что подкоренное выражение не превышает 1:
1 - 1/(1 + 2a + a²) ≤ 1
Отсюда следует, что
1 + 2a + a² ≥ 1
a² + 2a ≥ 0
a(a + 2) ≥ 0
Таким образом, условие, которому должно удовлетворять `a`, чтобы тангенс на интервале `90°≤α≤180°` имел плавный характер и удовлетворял заданию, это `a ≤ -2` или `a ≥ 0`.