Question

2xy'+y²=1 дифференциальное уравнение​

Answer 1

Це диференціальне рівняння першого порядку зі змінним роздільником. Можна його переписати у вигляді:

2xy' = 1 - y²

Потім розділимо змінні, помістивши всі y-терми на одну сторону, а x-терми на іншу:

2xy' = 1 - y²

2x dy/dx = 1 - y²

2x dy/dx = (1 - y)(1 + y)

dy/(1 - y)(1 + y) = dx/x

Тепер можна інтегрувати обидві частини:

∫(dy/(1 - y)(1 + y)) = ∫(dx/x)

Застосуємо метод частинного дробування для обчислення лівої частини:

dy/(1 - y)(1 + y) = (1/2) * (1/(1 - y) - 1/(1 + y)) dy

Тепер можна інтегрувати обидві частини, використовуючи відповідні формули для логарифмів та змінну x:

(1/2) * ln| (1 + y)/(1 - y) | = ln|x| + C

Де С - це довільна константа інтегрування.

Тепер можна розв'язати вираз для y:

(1 + y)/(1 - y) = Ke^(2ln|x|)

(1 + y)/(1 - y) = Kx^2, де K = ±e^(C)

1 + y = Kx^2 - Ky

y = (Kx^2 - 1)/(K + 1)

Це загальний розв'язок диференціального рівняння. Значення константи K можуть бути визначені з початкових умов, якщо вони задані.