Question

Решить логарифмическое неравенство с рисунком

Answer 1

Ответ:

Ответ: x ∈ (3;4] U [9;10)

Пошаговое объяснение:

Дано: $log_{\frac{1}{6} } (10 - x) + log_{\frac{1}{6} } (x - 3) \geq -1$

ОДЗ: $\left \{ {{10 - x > 0} \atop {x - 3 > 0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x < 10} \atop {x > 3}} \right. \Rightarrow x \in (3; 10)$

Применим свойство логарифмов $\bold {log_{a} b + log_{a} c = log_{a} bc}$

$log_{\frac{1}{6} } (10 - x)(x - 3) \geq -1$

Так как $-1 = log_{\frac{1}{6} } 6$, то

$log_{\frac{1}{6} } (10 - x)(x - 3) \geq log_{\frac{1}{6} } 6$

Теперь необходимо избавиться от $log_{\frac{1}{6} }$ в обеих частях неравенства, но перед этим проанализируем основание логарифма. Так как основание логарифма больше нуля и меньше единицы, то знак неравенства меняется на противоположный.

(10 - х)(х - 3) ≤ 6

-x² + 13x - 36 ≤ 0 | ·(-1)

x² - 13x + 36 ≥ 0

Нули функции y = x² - 13x + 36:

x² - 13x + 36 = 0

D = 25

$x_{1} = \frac{13 - 5}{2} = 4$

$x_{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$

Неравенство примет следующий вид:

(x - 4)(x - 9) ≥ 0

Решим неравенство с помощью метода интервалов.

                   $\bold {\Large \boldsymbol {} +}$                                          $\bold {\Large \boldsymbol {} -}$                                 $\bold {\Large \boldsymbol {} +}$

------------------------------------●----------------------------------------●------------------->х

                                         $\bold {\Large \boldsymbol {} 4}$                                               $\bold {\Large \boldsymbol {} 9}$

x ∈ (-∞;4] U [9;+∞)

Учитывая ОДЗ запишем ответ.

Ответ: x ∈ (3;4] U [9;10)

Answer 2

Решение логарифмического неравенства на фото