Question

В равностороннем треугольнике ABC провели медиану AM. На луче AM отметили точку K, такую, что угол ABK равен 90 градусов. Найдите АМ, если MK=9.

Answer 1

Ответ:

АМ =27 единиц.

Пошаговое объяснение:

В равностороннем треугольнике АВС провели медиану АМ. На луче АМ отметили точку К такую, что угол АВК равен 90 градусов. Найти АМ , если МК =9.

Дан Δ АВС - равносторонний. Проведена медиана АМ. В равностороннем треугольнике она является и высотой и биссектрисой.

Тогда если в равностороннем треугольнике все углы по 60 °, то ∠ВАМ = ∠САМ  = 30 °.

На луче АМ отметили точку К такую, что ∠АВК = 90°. Тогда ΔАВК - прямоугольный . Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Тогда ∠АКВ =90 °-30° = 60°.

В этом треугольнике ВМ - высота, то есть ∠АМВ =90°.

Рассмотрим ΔВМК - прямоугольный. В нем катет МК =9 , ∠АКВ =60°.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

$tg \angle{AKB} = \dfrac{BM }{MK } ;\\\\BM = MK\cdot tg \angle{AKB}\\\\BM = 9 \cdot tg 60^{0} =9\cdot \sqrt{3} =9\sqrt{3}$

Если АМ - медиана, то ВМ = МС и ВС = 2·ВМ ;

ВС = 2·9√3 = 18√3

Если АМ еще и высота прямоугольного треугольника , то высота определяется для равностороннего треугольника по формуле

$h=\dfrac{a\sqrt{3} }{2} ,$ где а - сторона треугольника .

$AM = \dfrac{18\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2} = 9\cdot 3 =27$

#SPJ1

Answer 2

Ответ:

АМ = 27 ед .

Пошаговое объяснение

В равностороннем треугольнике АВС провели медиану АМ . На луче АМ отметили точку К. такую , что угол АВК равен 90 градусов . Найдите АМ , если МК = 9 .

1 ) По условию ∆АВС - равносторонний . Следовательно все его углы равны между собой и составляют 60 ° ( свойство равностороннего треугольника ) :

∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°

2 ) Известно , что ∠ABK = 90º , по аксиоме измерения углов : ∠ABK = ∠ABC + ∠СВК , значит : ∠CBK = ∠ABK - ∠ABC = 90 °-60 ° = 30°

3 ) АМ - медиана △ABC , а значит по свойству равностороннего треугольника является также высотой и биссектрисой . АМ⟂ВС

4) Рассмотрим △ВМК(∠ВМК=90°)

Катет МК лежит напротив угла ∠МВК=30°, а значит по свойству прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Следовательно гипотенуза ВК=2•МК=2•9=18(ед)

5) Рассмотрим △АВК (∠АВК=90°)

За метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике имеем:

ВК²=АК•МК

АК=ВК²:МК=18²:9=324:9=36 (ед)

6) По аксиоме измерения отрезков:

АМ=АК-МК=36-9=27(ед)

Ответ: АМ = 27 ед

#SPJ1