Question

Решите в натуральных числах.

$3*2^{x}+1=y^{2}$

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Первым шагом решения этого уравнения является вычитание 1 из обеих сторон:

3 * 2^(x) = y^2 - 1

Затем выражаем правую часть как произведение двух множителей:

3 * 2^(x) = (y + 1)(y - 1)

Отметим, что числа (y + 1) и (y - 1) имеют одинаковую чётность, поскольку они отличаются на 2. В таком случае, одно из этих чисел обязательно делится на 2, а другое - на 4.

Поскольку левая сторона уравнения делится на 3, то правая сторона также должна делиться на 3. Таким образом, одно из множителей на правой стороне должно делиться на 3.

Оба множителя (y + 1) и (y - 1) не могут делиться на 4 сразу, поскольку их разность равна 2, а это противоречит условию о чётности. Следовательно, один из множителей должен делиться на 4.

Таким образом, условия, которые должны выполняться, чтобы уравнение 3*2^x+1=y^2 имело решение в натуральных числах, следующие:

1. Одно из множителей (y + 1) или (y - 1) должно делиться на 3.

2. Один из множителей (y + 1) или (y - 1) должен делиться на 4.

Мы можем проверить все возможные комбинации двух множителей, удовлетворяющие этим условиям, чтобы найти соответствующие решения.

Рассмотрим два случая:

1. y + 1 делится на 3.

Отсюда следует, что y - 1 должно делиться на 4. Поэтому исходное уравнение можно записать в виде:

y + 1 = 3 * m

y - 1 = 4 * n

где m и n - натуральные числа.

Используя эти равенства, можем найти значение y:

3 * m - 1 = 4 * n + 1

3m - 4n = 2

Но это уравнение не может иметь решения в целых числах m и n. Следовательно, первый случай не приводит к решению.

2. y - 1 делится на 3.

Поэтому y + 1 должно делиться на 4. Исходное уравнение можно записать в виде:

y - 1 = 3 * m

y + 1 = 4