1282. Білочка вирішила перевірити свій запас горішків. Коли вона рахувала їх десятками, то не вистачило 2 горішків до цілого числа десятків, а коли почала рахувати дюжинами, то залишилося 8 горішків. Скільки горішків було в білочки, якщо відомо, що їх більше за 300, але менше від 350?
Ответы
Ответ:
Нехай кількість горішків, яку має білочка, дорівнює N. За умовою задачі, N належить до інтервалу [301, 349] і задовольняє дві рівності:
N ≡ 8 (mod 12) (1) (залишок від ділення на 12 - 8)
N ≡ 8 (mod 10) (2) (залишок від ділення на 10 - 8)
Знайдемо розв'язок системи рівнянь (1) і (2). Для цього скористаємося китайською теоремою про лишки:
N ≡ a1 (mod m1)
N ≡ a2 (mod m2)
де a1 = a2 = 8, m1 = 12, m2 = 10. Знайдемо спочатку розв'язок окремо для кожного модуля:
Для m1 = 12 розв'язок має вигляд N1 = 12k + 8, де k - ціле число.
Для m2 = 10 розв'язок має вигляд N2 = 10l + 8, де l - ціле число.
Знайдемо такі цілі числа k і l, щоб вони задовольняли обмеженням на N і щоб N1 = N2. Для цього виконаємо наступні дії:
12k + 8 = 10l + 8
12k = 10l
6k = 5l
Таким чином, ми знайшли, що k = 5m, l = 6m, де m - ціле число. Підставимо ці значення у формули для N1 та N2 і отримаємо:
N1 = 60m + 8
N2 = 60m + 8
Отже, ми отримали єдиний розв'язок системи рівнянь: N = 60m + 8. При цьому, відомо, що N належить інтервалу [301, 349], тому ми можемо знайти єдине ціле число m, для якого 60m + 8 належить цьому інтервалу:
301 ≤ 60m + 8 ≤ 349
293 ≤ 60m ≤ 341
4.88 ≤ m ≤ 5.68
Оскільки m - ціле число, то ми можемо прийняти m = 5. Підставимо це значення в формулу N = 60m + 8 і отримаємо:
N = 308
Отже, білочка ма